式の解釈

質問

mは全ての実数を取るとする。L:y=mx、M:x+my-2=0の二直線の交点の軌跡を求めよ、という問題があります。
解法は3つほど思いつきますが、そのうち一つは綺麗に答えが出ません。
無理やり過程を解釈することで、他の解と一致させることができましたが、この解釈で良いのか教えて下さい。

変数mを消去する。
Mを変形し、m=(-x+2)/y…(1)とする。
(1)とLを連立すると、(x-1)^2+y^2=1、y≠0。

*ここで、y≠0とは、(1)式を利用したため、(x-1)^2+y^2=1に含まれるかどうか検証不可なだけとみなす。他の手段で検証し、矛盾が確認されたら、その部分は答案から外す。

(x-1)^2+y^2=1において、y=0の時、x=0,x=2。この二点について、LとMの交点として成立するか検証する。
LとMを連立し、x+xm^2-2=0 x=0の時、-2=0となり矛盾。 x=2の時、m=0ならば成立。mは全ての実数をとるから、y=0、x=2の時、(x-1)^2+y^2=1は成立。よって、軌跡は
(x-1)^2+y^2=1、(0,0)を除く
となる。

わざわざこんな解き方をしなくても、直線の定義から解答も出せますし、Lを変形してmを求めればここまで苦労はしないのですが、色々試していて気になりました。小さなことですが、ご教授願います。

回答No.5

kabaokaba

NO.2です

>ところで、質問に対する回答をいただいておりません。
そのとき方では
どうやっても「検証が必要」と答えているはずだけど？
検証がなければ大幅な減点でしょうね．
だから，その意味では「正しい」です．

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はっきりいってしまうと
質問文の「解答」は
ひとまず問題をといてしまうために
「都合のいい条件のもとでざっと計算をしてしまう」，
いわば「発見的な段階」
（ヒューリスティックというと格好いいかも）でしか
ないんです．

ふつうは，試験だったらこの段階をざっと計算用紙の端っこにでもささっとやって
それをベースに論理的に整理して
解答としてまとめるということになるのです．
この段階を「解答」として答案にかいたら・・・
それはすでに指摘されています．

回答No.4

alice_44

３未知数 x,y,m についての連立方程式と見て
解いた後で、m が存在する x,y の範囲を答えればいい。

M を y で場合分けすると、
y≠0 の場合には、質問文中のように処理できる。
y=0 の場合には、M より、m の値によらず
x=2 に限られる。これを L に代入すれば、
m=0 となる。

y=0 となる解は、(x,y,m)=(2,0,0) のみと判る。

回答No.3

alice_44

良いも悪いも…、「検証不可なだけとみなす」
ってのが、何を言ってんだかサッパリ判らん。
試験の採点者にも判らん可能性が高いと思う。
だから、答案としては、善意の解釈に頼った
不完全なもの と言わざるを得ない。

論理の展開が不明な、後での検証にするよりも、
(1) へ変形する時点で y=0 かどうか場合分け
してしまうほうが、話の筋がハッキリする。

補足

y=0で場合分けを考えると、y=0の時は円の方程式が成り立ちません。
LとMの二つの式を連立すると、(2,0)は成り立ちますが、それ以外に(0,0)を確認すべきであり、その二点以外は調べる必要がないと、どうして分かるのでしょうか。
円の成立を仮定しない場合、(2,9)以外のy=0直線の中から、どこの部分の成立を検証すればいいのか定かではないのでは…(mは全ての値をとり得るので、)

回答No.2

kabaokaba

手の内をさらさずに
「それはしってた」というのは
まあ，フェアな態度ではないとはおもうけど

L:y=mx、M:x+my-2=0
から交点がみたすべき方程式をだしても
一般にはそれは必要性しかないので
検証を要するわけです．
一般には「交点がその方程式で現せる図形に含まれる」
ことを証明してるわけですから

Lからmを求めれば今度は「x=0」の検証が必要です．
「直線の定義から」ってのが「円周角の定理」による解法でしょうか
Mからmを求めるのが質問にある解法

もっと具体的に交点の座標をmで表す解法もあるけど「想定内」？
x+my-2=0
x+m(mx)-2=0
x(1+m^2)=2
x=2/(1+m^2)
だから
交点は
(2/(1+m^2), 2m/(1+m^2))
これは，1+m^2が分母にあるから
慣れてればすぐ円だろうと検討がつくけど
m=tan(t) (-π/2<t<π/2)とおけば
(2cos^2(t), 2cos(t)sin(t))
=
(cos(2t)+1, sin(2t))
だから
この軌跡は
中心(1,0)，半径1の円周上で
tの範囲より(0,0)だけを除外
この方法だと，mが実数という条件を
tanを通して円の中心角にもっていくので
範囲も含めて軌跡を一気に出せます．

ちなみに，直線の傾きをtanで表すというのは
お約束の手法でx軸の正方向とのなす角で
傾きを表すことを意味します．
だから最初からtan(t)で交点を表現してしまうのもありです．

お礼

浅学の若輩者に新しい解法を示していただきありがとうございます。
ところで、質問に対する回答をいただいておりません。
私の考え方で間違いはないでしょうか。
それとも、この考え方は間違いなのでしょうか。
答えが合っている、合っていないよりも、考え方が合っているか間違っているかを問題にしています。

回答No.1

spring135

L:y=mx、M:x+my-2=0

Lは定点(0,0)を通る直線、Mは定点(2,0)を通る直線で、LとMは常に直交していることがわかりますか。

従って幾何学で言う円周角90°の点の軌跡であって、(0,0),(2,0)を直径とする円が軌跡となります。

この場合、mが実数といった場合、気を付けなければならないのはm=±∞の場合の点は除外すると考えるべきです。

mを次第に大きくしていくとLは垂直、Mは水平に近づき交点は(0,0)に近づく。よって(0,0)は除外します。

m=-∞の極限でも同じことです。

これとは別にm=0は除外される理由はありません。この時は交点は(2,0)です。

お礼

ありがとうございます。
それは、想定できている解答のうちの一つです。
((0,0)除外、(2,0)含むはそこまでスマートには記述できていませんが、大体同じ事が手元メモにあります。)