連立方程式について教えてください。

質問

例えば
f(x)=x^2+2x+1=0・・・(1)
g(x)=x^2+4x+4=0・・・(2)
連立させて
(1)-(2)から-2x-3=0⇒x=-3/2
連立方程式というと「(1)と(2)を同時に満たすxを求めること」と自分は解釈しています。しかしこのx=-3/2というのを(1)、(2)に代入すると
1/4=0と矛盾します。実際、x=-3/2というのはy=(x),y=g(x)の交点のx座標のことですが、この矛盾は自分の連立方程式に対する解釈がどう間違っているのでしょうか？

そしてまた
α^2-(m+1)α-m^2=0・・・(1) α^2-2mα-m=0・・・(2)があったとします。
これをα、mについての連立方程式と見てとく、自分は「(1)と(2)を同時に満たすαとｍを求めること」と解釈していますが、そうすると
(1)-(2)からm=1, m=αと出てきます。これをそれぞれ(1)か(2)に代入して解くと、αについて得られますが、上の問題の矛盾点からすると、それは必ず(1)と(2)を同時に満たしているαなのでしょうか？

上の問題と下の問題を関連又は違いについて注目しながら、疑問にお答えして頂けると幸いです。

回答No.6

noname#111804 · ベストアンサー

F（α）＝α^2-(m+1)α-m^2=0・・・(1)
G(α）＝ α^2-2mα-m=0・・・・・(2)

======================================
（１）－（２）
より、ｍ＝１、α＝ｍがでてきます。
これが何なのか？です。

α＝ｍが（１）式、（２）式の根と思うなら、代入してみたらよいです。(1)式、(2）式を満たしません。すなわち根ではないことがわかります。また、ｍ＝１もまったく関係ありませんね。

α＝ｍはF(α）のグラフとG(α）のグラフの交点であって
（１）式、（２）式の根でないことがわかると思います。

回答No.5

noname#101087

たとえば、連立系を代入法で解くケースを想定してください。
未知数の個数により、不可解(解無し)の条件が異なります。それを混同されてませんか？

>x^2+2x+1=0・・・(1)⇒(x+1)^2=0⇒x=-1
>x^2+4x+4=0・・・(2)⇒(x+2)^2=0⇒x=-2
　　　↓
この連立形は、未知数が 1つだけ。
一方の解x を他方へ代入して不成立なら、不可解。
(もちろん、成立ならそれが共通解)

>y=x^2+2x+1・・・(I)
>y=x^2+4x+4・・・(II)
　　　↓
この連立形は、未知数が 2つ。
一方の y を他方へ代入して、x だけの方程式を得る。
その方程式に解が無ければ、不可解。

回答No.4

noname#111804

(1)-(2)からm=1, m=αと出てきます。これをそれぞれ(1)か(2)に代入して解くと、αについて得られますが、上の問題の矛盾点からすると、それは必ず(1)と(2)を同時に満たしているαなのでしょうか？
***************＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

α^2-(m+1)α-m^2=0・・・(1)
α^2-2mα-m=0・・・(2)

(1)-(2)からでてくるｍ＝１、ｍ＝αは（１）式、（２）式の
グラフの交点であって、（１）、（２）の二次方程式の
根ではありません。

補足

元の問題を挙げますと
α^2-(m+1)α-m^2=0・・・(1)
α^2-2mα-m=0・・・(2)
この2つ(αは(1)と(2)の共通解と見てx=αとして元のxの2次方程式に代入したもの)の共通解がただ1つの共通解をもつときのmの値と共通解を言え。という問題でこれをα、mについての連立方程式と見て解いているのが質問の源なのですが、こういう考え方の人がいました。
「A=0かつB=0 ⇒ A-B=0 は成立するが、その逆、A-B=0 ⇒ A=0かつB=0 は成立しない。ということで、(m-1)(m-α)=0 が成立すること、即ちm=1, m=αであることが(1)、(2)を同時に満たすαが存在するための必要条件。ここで求められたのはあくまでも必要条件であって、m=1,m=αならば共通解を持つとは限らない。」
これは恐らく、あなたが言っていることとほぼ同じで、自分が納得する形に最も近づきました。

まとめると連立方程式の解というのは、もとの方程式を同時に満たすものが存在するための必要条件で、共通解を持つとは限らない。という考え方でいいでしょうか？

回答No.3

noname#111804

>(1)-(2)からx=-3/2,
は（１）式と（２）式のグラフの交点を意味します。

ｙ＝F(x)・・・・（A）
ｙ＝G(x)・・・・（B）

（A）－（B）は
F(x)－G(x)＝０となり
（１）－（２）とおなじになります。
つまり、グラフの交点を求めていることになります。

間違いを起こしやすいですね

回答No.2

noname#101087

>f(x)=x^2+2x+1=0・・・(1)
>g(x)=x^2+4x+4=0・・・(2)

の両式に =0 という尻尾をつけたら、各式とも解は 2つ(重複を含め)しかありませんよね。
尻尾をつけない場合の共通解を知りたいのでは？

補足

x^2+2x+1=0・・・(1)⇒(x+1)^2=0⇒x=-1
x^2+4x+4=0・・・(2)⇒(x+2)^2=0⇒x=-2

>(1)-(2)からx=-3/2
この(1)-(2)というのは連立方程式の加減法をやっているのだと思います。自分はこの連立方程式を、ここだと「(1)と(2)を同時に満たすxを求めること」と解釈します。しかし同時にx=-3/2というのはx^2+2x+1=0、x^2+4x+4=0を満たすxではないことが分かります。(それぞれの解より)。

y=x^2+2x+1・・・(I),y=x^2+4x+4・・・(II)を連立方程式で解くということは(I)(II)を同時に満たす(x,y)つまり両方の交点を求めているということはすんなり理解がつくのですが、上の2次方程式を連立させると、
(1)と(2)を同時に満たすxではなくy=(x),y=g(x)の交点のx座標のは、自分の連立方程式に対する考え方がちょっと間違っているのか？と思っているのです。

回答No.1

tenti1990

f(x)=x^2+2x+1=0・・・(1)
g(x)=x^2+4x+4=0・・・(2)
というのがおかしいです。
＝０なら(1)はｘ=-1(2)はｘ=-2ですから

連立させたいのなら
f(x)=x^2+2x+1・・・(1)
g(x)=x^2+4x+4・・・(2)
とすべきです。

そうすれば-3/2というのはy=f(x),y=g(x)の交点のx座標となります。

もう下はわかりますよね？
がんばってください

補足

f(x)=x^2+2x+1=0・・・(1)⇒x=-1
g(x)=x^2+4x+4=0・・・(2)⇒x=-2

x=-3/2を入れても(1)(2)を満たさないことは明らかであることは上から分かるのですが、いっそのこと連立2次方程式から出てくる解というのは元の2つの2次方程式を満たすのはそれぞれの解のみだから(1)(2)を満たすxということではなくy=f(x),y=g(x)の交点のx座標と、シンプルに考えて(暗記して)しまった方がいいのでしょうかね？

y=f(x),y=g(x)を連立させるということは、言えば2つを同時に満たす(x,y)を求めるということだと思うから交点を求めているということは自分でも理解できるのですが。