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高校の解の存在の問題
3次方程式x^3－x^2＋px＋q＝0が相異なる3つの正の解をもつ実数ｐ、qの条件を求めたいのですが・・・。 極大、極小をとるｘの値をα、βとすると計算があふれてしまいます。 なにかいい方法ないでしょうか。
- 数学・算数
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書き込みミス。 (誤) 従って (極大値)*(極小値)＜0 → (4px＋q+p＾2/9)*(4px＋q+p＾2/9)＜0。これを展開して、α＋β＝2/3、αβ＝p/3 を代入するだけ。 (正) 従って (極大値)*(極小値)＜0 → (4pα＋q+p＾2/9)*(4pβ＋q+p＾2/9)＜0。これを展開して、α＋β＝2/3、αβ＝p/3 を代入するだけ。
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- mister_moonlight
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解と係数から、3解の和＝1＞、2解ずつの和＝p＞0、3解の積＝-q＞0. よって、p＞0、q＜0 ‥‥(1) これで3つの解が全て正であることは示せる。今度は、相異なる3つの実数解の条件を求める。 f(x)＝x^3－x^2＋px＋q＝0とすると、微分して f´(x)＝3x^2－2x＋p＝0が異なる2つの解α、βをもつから 判別式＞0 つまり 1-3p＞0 ‥‥(2) で(極大値)*(極小値)＜0。 但し、(極大値)*(極小値)＜0の計算は 考えないと面倒な事になる。恒等式を使おう。 x^3－x^2＋px＋q を 3x^2－2x＋p で割ると、x^3－x^2＋px＋q＝(3x^2－2x＋p)*(x/3-p/9)＋(4px＋q+p＾2/9)＝(4px＋q+p＾2/9)。 従って (極大値)*(極小値)＜0 → (4px＋q+p＾2/9)*(4px＋q+p＾2/9)＜0。これを展開して、α＋β＝2/3、αβ＝p/3 を代入するだけ。 それに (1)と(2)を加味したものが答。実際の計算は 自分でやって。
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
この方は丸投げしてる方じゃないね 先生が書いてあるけれど、もうちょっと簡単に見てみてもいいかな？ 学習機会を奪うようで、ちょっと気にはなるけれど。 多分グラフを書かれてないと思うんです、質問者さんが。 ｘ＾３ の係数は １ ですから このグラフは ＃下に絵を書きますけど 見てのとおりしかないんです。 微分しますね。 ＝０ とやったときｘの値で極値を取るね。 極値が当然二つでるよね。二次方程式になるんだからね。 ｘが小さい方の極値が、絵で書いてる青い点になる。 同様に、ｘが大きいほうの極値が 赤い点になりますね。 ＃分からなかったらまた下さいよ～。 後は題意に沿えばいいんじゃないかな？ (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=) Ａｌｉｃｅ 先生や、あなたのような質問者さん見ると、安心できるね＾＾； ちょっと丸投げひどいねこの頃・・・。 もう一個の条件：ｘ＝０のとき、ｙの値が○○ でないといけない・・・。 こういうのは勘でしかないよ＾＾；
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
y = -xxx+xx と y = px+q の交点を求める と考えてみては、どう？ y = -xxx+xx の変曲点での接線の傾きと p の大小を比べて場合分けし、 交点が 3 個になるような q の範囲を p の値ごとに求める。 場合分けした理由は、グラフを書いてみれば判る。
- asuncion
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＞計算があふれてしまいます。 どういった意味でしょうか。
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