方程式・不等式の問題

質問

どうしても理解出来ないところがあるので、お力添えお願い致します。

f(x)=x^4-4ax^2+a^2+3aとする。ただし、aは実数の定数である。
全ての実数xに対して、f(x)≧0となるようなaの値の範囲を求めよ。

という問題です。

まずx^2=tなどとおいてg(t)=(t-2a)^2-3a^2+3aとするところまでは分かりました。
ですが、その後が分かりません。
解答を見ると「”t≧0を満たすすべての実数tに対し、g(t)≧0”となるような
aの範囲を求めればよい」と書いてあるのですが、この部分が分かりません。
なぜ、t≧0なのでしょうか。
また、この後(i)a<0のとき　　(ii)a≧0のとき　　の２つに場合分けするのですが
単純に頂点のy座標≧0ではなぜダメなのでしょうか・・・。

ずっと長い間考えてみたのですがよく分からなかったので質問しました。
よろしくお願い致しますｍ（＿）ｍ

回答No.4

endlessriver

＃１の方のとおりですが別の視点で。
f(x)=x^4-4ax^2+a^2+3a　でt=x^2とおくと
g(t)=(t-2a)^2-3a^2+3a　とします。

するとfの微分の極小点は
dg(t)/dx=dg(t)/dt・dt/dx=0となります。
すなわち、dg(t)/dt=0またはdt/dx=0を考慮する必要があります。

dg(t)/dt=0からはt=2aが求まり、t=x^2の定義からa>=0がわかります。この部分ではdt/dx>=0ですから、dg(t)/dt=0だけの傾きの変化判定で良いことになります（＃１の方の(ii)の議論）。

つぎにdt/dx=0はx=0になり、これが極小になる条件は簡単で（t=x^2ｋ x=0の両側で符号が変化しない場合）
dg(t=0)/dt>0 が必要です。
すなわち、
dg(t=0)/dt=2(t-2a)=-4a>0となり a<0であることが必要です。
fが０以上になるには
f(t=0)=4a^2-3a^2+3a=a^2+3a=(a+3)a>=0
すなわち、a<0ですから a+3<0 すなわち a<=-3
となります。

回答No.3

h2_le7

他の方と同じような回答になってしまうのですが。

まず、この方程式が全ての実数xに対して、f(x)≧0となるので、
x^2=tとしたのですから、x^2>0より、全ての実数x→t≧0を満たすすべての実数t
となります。

次に場合分けなのですが、もし単純に頂点のy座標≧0で考えたとしても、頂点のy座標がaの関数になっているので、aが正か負かで値が変わってくることが理解できますよね？

回答No.2

oyaoya65

＞なぜ、t≧0なのでしょうか。
xが実数なのでx^2≧0ですね。
この　x^2を　x^2=t　とおいたら
tのとりうる範囲は　t≧0　となりませんか？

＞単純に頂点のy座標≧0ではなぜダメなのでしょうか
だめですね。理由は以下の通りです。

(i)a<0のとき
放物線g(t)の対称軸 x＝2a＜0となりますね。
このとき、t≧0における最小値は頂点のy座標にはならないですよ。t＝0で最小値となることが分かりませんか？

回答No.1

Sbacteria

>なぜ、t≧0なのでしょうか。
t=x^2≧0 です。（xは実数なので）

>単純に頂点のy座標≧0ではなぜダメなのでしょうか・・・。
頂点が　t≧0の範囲にあれば、それで良いでしょう。
そう考えると、頂点は(2a, -3a(a-1))となるので、
(i)a<0のとき 頂点はt<0の範囲に入るので、
単調増加のグラフで、t=0の時の値が正なら、すべての実数で正になる。a^2+3a=a(a+3)≧0
よって、　a<-3

(ii)a≧0のとき　頂点はt≧0の範囲に入るので、頂点のy座標≧0から、
　-3a(a-1)≧0 1≧a≧0