不等式

質問

2次方程式a(x＾2)-4x+a+3=0が-1≦x≦3の範囲に、異なる２つの実数解をもつとき、aの値の範囲を求める問題で、aは実数とすると

(i)a>０のとき
f(x)=a(x＾2)-4x+a+3とおくと

D/4=4-a(a+3)>０
より　(a+4)(a-1)<0
-4<a<1
f(x)=a(x+(2/a))＾2　+(a/2)+3
2次関数の軸の方程式は
x=2/a

●参考書には-1<2/a)<3と書いてありますがどこから求めたのですか？
問題の条件-1≦x≦3の範囲からx=2/aを代入したのですか？

もしそのような解き方だったら不等式の大きさが違うのですか？
<　→　≦　になっているので

●a<-2 、a>2/3らしいのですが私が解くと
-1<2/a
a>-2となってしまいます

●f(-1)=2a+7≧0らしいのですが
f(-1)=2a+7>0でもいいのですか？

回答No.3

secretd · ベストアンサー

文字で説明するのは面倒くさい問題ですねぇ．図を描いてやりたい．

まず，方程式の解と，関数がx軸と交わる点というのが同じ，ということは理解していますか？
たとえば，関数y=x+1がx軸と交わる点は，この関数にy=0を代入したx+1=0という方程式の解に一致します(x=-1)．

ということは，この問題は，-1≦x≦3に解を持ってほしいですから，
a>0(下に凸な関数)と仮定すると，この放物線はたとえばx=0と1あたりでx軸と交わってほしいわけです．

そのために必要なこととして，
1)D>0: そもそもこの関数が2つの解を持ってくれないといけませんね．
2)軸の方程式が範囲内にある(ただし，境界点は含まない)
3)x=境界点のときのyの値が0以上
である必要があります．(#1さんのおっしゃっていることです)
このすべての条件が当てはまるグラフはどんなグラフか，また条件のうち1つが当てはまらないグラフはどのようなものか，実際に書いてみるとイメージがつきます．

最初の質問は，2)のなぜ境界点を含まないか，ということですね．
今，a>0，D>0は仮定していますから，絶対に下に凸で，x軸と交わる関数を適当に書いてみましょう(絶対に絵を描こう！！！)．
すると，頂点から少し右に行った点と，左に行った点でx軸と交わりますね．
で，その2点が-1≦x≦3の範囲で交わるためには，頂点は-1<x<3にないといけません．
頂点のx座標は平方完成から2/aですから，-1<(2/a)<3という条件ができます．
イコールがだめな理由としては，たとえばy=(x+1)^2-1というグラフを書いてみましょう．
このグラフの頂点は(-1,-1)と境界上にあります．で，右側の交点は範囲内に入りますが，左側の交点は絶対に範囲からずれてしまいます．
こんなわけで，境界上はだめです．

2番目の質問は，単に計算間違いでしょう．
-1<(2/a)<3は，-1<(2/a)と，(2/a)<3を独立に解いて，共通部分を求めるだけです．

3番目の質問ですが，これは条件の3つめに当たります．
結論はだめです．
x=-1が解であってもいいわけですから，この関数のグラフはx=-1のところで交わってもいいのです．ですから，x=-1をfに代入した値は0以上である必要があります．続きがありませんが，同様にf(3)≧0である必要もありますね．

お礼

やっと分かりました
ありがとうございます

回答No.4

take_5

質問者の推論も計算もめちゃくちゃだよ。

f(x)＝a(x＾2)-4x+a+3＝a(x-2/a)＾2＋(a+3-4/a)とする。
質問者の推論に従ってa＞0とするなら、条件を満たすには、関数y＝f(x)のグラフがx軸と-1≦x≦3の範囲で、異なる２つの実数解を持てばよいことになる。

それには、a+3-4/a＜0、軸(2/a)が、-1＜2/a)＜3、f(3)≧0、f(-1)≧0であれば良い。

以下は、自分でやってください。

回答No.2

Tacosan

かなりひねりますが, -1 < 2/a < 3 は解と係数の関係から出てきます. つまり -1 ≦ x ≦ 3 の範囲に異なる 2つの実数解を持つとして, それらを x, y (x < y) とおくと -1 ≦ x < y ≦ 3 なので -2 < x+y = 4/a < 6.
ちなみに -1 < 2/a なら a < -2 または a > 0 ですね. y = 2/x のグラフを頭に描けばほとんど自明.

補足

解と係数も使うのですか？
α+β＝－(-4)/a
?

-1 ≦ x < y ≦ 3 から -2 < x+y = 4/a < 6になることが良くわかりません

回答No.1

gengen4

それは私の高校では「じはだ」の問題と読んでいます。
じ…軸
は…判別式
だ…代入
のみっつの計算をすればできるという意味です。
そんなことはどうでもよいのですが…

●-1<（2/a)<3の件
この不等式がでてきた理由は
軸の方程式が-1より大きくて3より小さい値になるという理由からです。
言葉では説明しにくいのですが
例えば、軸ｘ＝４の２次関数のグラフはどうがんばっても「-1≦x≦3の範囲に、異なる２つの実数解をもたない」ですよね？頂点がx=4の位置にあるのでそれより右側（ｘ軸の正の方向）にどうしてもf(x)=0になるｘが存在しています。
他にも軸がｘ＝－５やｘ＝６のときの２次関数を書いてみてください。どうしようとも問題に合いません。
　そう考えていくと問題の条件に合うためには
－１＜軸＜３という式にたどりつくと思います。軸＝－１のときも条件に合いません。
●a<-2 、a>2/3の件
理由はよく分かりませんが、a>0、a<0のときとで場合わけしてない…というのが理由ではないですか？？
●f(-1)=2a+7≧0の件
f(-1)=2a+7＞0ではだめです。
問題の条件は
「-1≦x≦3の範囲に、異なる２つの実数解をもつ」
なので…
f(-1)=0のようなときも条件に含まれると思いませんか？かなりわかりにくい箇所なのですが
もし問題の条件が
「-1＜x＜3の範囲に、異なる２つの実数解をもつ」
だったらf(-1)=2a+7＞0になります

かなり文章で説明するのが難しい問題ですが…
いろいろ自分の書いた文章にヒントがちらばっていると思うので…がんばって解読してください。あなたがこの問題を理解できることを願っています！！

お礼

どうして
－１＜軸＜３なのでしょうか？
例えば
0＜軸＜２でもいいのでしょうか？

補足

解説ありがとうございます
難しいですね
●-1<（2/a)<3の件
がまだよくわからないです
gengen4さんの解説何度も読んでいますが難しいですね
頑張ってみます