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不等式の扱いについて
- mとnを定数とする実数の場合、f(x)=1－mx^2＋nx^4－cosxとおいたとき、条件f(x)＞0（x＞0）から1/2≧mであることを示す。
- 特定の数学の問題を解く際に、不等号の使い方がしばしば曖昧な部分が見受けられる。証明問題でもこのような符号の変化を設問に合わせて行っても点数はもらえるのかどうか疑問がある。
- 質問者は数学科を受験しないが、数学問題について疑問を持っている。このような場合、アドバイスを求めるべきかどうか悩んでいる。
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- eatern27
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＞となると不等式の両辺の極限をとった場合一般に等号が入ると考えて良いんですね！ はい、その通りです。極限をとっただけだと、等号が入ります。 (もちろん、他の条件から"等号が成り立たない"という事が言えるのなら,等号は入りませんが) あと、 cosx=1-x＾2/2!+x＾4/4!-x＾6/6!+・・・ についてですが、これは、大学の範囲ですので、気にしなくていいと思います。知っていれば,得する時がある、という程度の物です。 詳しく知りたければ,「テーラー展開」「マクローリン展開」で検索すれば出てくると思います。
お礼
二度もご説明いただきありがとうございます！ 兄から聞いたことがありましたが、これがいわゆる「テーラー展開」「マクローリン展開」というのですね！また一つ勉強になりました！ これからも何かあればよろしくお願いいたします！
- mmky
- ベストアンサー率28% (681/2420)
(x)=1－mx^2＋nx^4－cosx f(0)=0 は自明 （x＞0）ならばということですから、 cosx=1-x＾2/2!+x＾4/4!-x＾6/6!+・・・ を使います。 f(x)=1－mx^2＋nx^4－cosx >0 1－mx^2＋nx^4－cosx >0 x^4>0 で両辺を割ってやれば、 1/x^4－m/x^2＋n－cosx/x^4 =－m/x^2＋n+1/2x^2-1/4!+x＾2/6!-・・ >0 m=1/2 の時、 =n-1/4!+x＾2/6!-・・ >0 x→+0, x＾2/6!-・・ >0 であれば、 n=1/4! つまり, ここでの条件はx→ε (ε<<1)であってx=0を除いているんですね。 だから、m=1/2 を含むのが正しいということですね。
お礼
ご説明ありがとうございます！ ですが下の cosx=1-x＾2/2!+x＾4/4!-x＾6/6!+・・・ の部分がイマイチ分かりませんでした。 勉強不足なようなので、調べてみます！
- turugi0802
- ベストアンサー率39% (68/173)
f(x)=1－mx^2＋nx^4－cosx の式でnX^4とあるのですが、x^4の係数が例えば100の時と10の時でmの条件は変わってしまうと思うのですが・・・。 もう一度式を確認してもらえませんか？？
補足
確認してみましたが問題文や条件は上で書き込んだ通りのもので、他に一切条件は書いてありませんでした。
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ご説明ありがとうございます！ 確かにおっしゃるとおりですね！ となると不等式の両辺の極限をとった場合一般に等号が入ると考えて良いんですね！ 勉強になりました！