不等式の扱いについて

質問

m,nを実数の定数とし

　　　f(x)=1－mx^2＋nx^4－cosx

とおく。

（1）f(x)＞0（x＞0）ならば、1/2≧mであることを示せ。

という問題で、まずf(x)＞0の条件から

1－cosx/x^2＋nx^2＞m

というように変形して両辺の極限（x→+0）をとると、1－cosx/x^2は1/2（x→+0）となりますから、結局

1/2＞mという結果が得られます。
ここでなんですが、実は解答ではここの記号が【＞】ではなく証明で指示されている【≧】になっていました。もちろん理由もなくイコールがつくわけはないとおもいますが、どうしてここで符号にイコールが入ったのでしょうか？背理法を用いた他の解答も載っていましたが、これも解答に載っていたので間違いではないと思います。

この問題に限った話ではありませんが数(3)の問題を解いていると、しばしば【＞・≧・＜・≦】の使い方で曖昧な部分が見受けられます。（はさみうちの原理を用いた問題では特に）証明問題にも関わらずこの辺の符合を適当に設問にあわせて変えてしまって点数はもらえるのでしょうか？数学科を受験するわけではありませんがどうも腑に落ちないのでアドバイスよろしくお願いします。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

＞1/2＞mという結果が得られます。

が間違っています。1/2＞mという結果は得られません。m≧1/2という結果が得られます("＝"がついている事に意味がある、という問題ではなく、"＝"がついていなければ,間違いです)

一般化に、f(x)>g(x)という関係がある時に,x→aという極限をとった場合,(aは∞とか、右極限等の形でもOKです)

limf(x)≧limg(x)

という事しかいえません。

f(x)>g(x)であっても、その極限が常に
limf(x)>limg(x)
を満たすとは限らないのです。

例えば,f(x)=1/x,g(x)=0とすれば、x＞0で
f(x)＞g(x)を満たしますが,x→＋∞の極限を考えると、
limf(x)=limg(x)=0なので、limf(x)>limg(x)を満たしていませんね。

はさみうちの原理も
f(x)<g(x)<h(x)
で、x→aで、limf(x)=limh(x)＝αならば、limg(x)＝α
という感じだったと思いますが,
f(x)<g(x)<h(x)
に極限をとると、"＝"が現れて,
limf(x)≦limg(x)≦limh(x)
α≦limg(x)≦α
となって、limg(x)＝α
という結論が出てきます。(大雑把な説明ですが)

ご質問の場合に戻ると、
1－cosx/x^2＋nx^2＞m
という関係があるので、両辺にx→＋0の極限をとれば、
1/2≧m
となります。

お礼

ご説明ありがとうございます！
確かにおっしゃるとおりですね！
となると不等式の両辺の極限をとった場合一般に等号が入ると考えて良いんですね！
勉強になりました！

回答No.4

eatern27

＞となると不等式の両辺の極限をとった場合一般に等号が入ると考えて良いんですね！

はい、その通りです。極限をとっただけだと、等号が入ります。
(もちろん、他の条件から"等号が成り立たない"という事が言えるのなら,等号は入りませんが)

あと、
cosx=1-x＾2/2!+x＾4/4!-x＾6/6!+・・・
についてですが、これは、大学の範囲ですので、気にしなくていいと思います。知っていれば,得する時がある、という程度の物です。

詳しく知りたければ,「テーラー展開」「マクローリン展開」で検索すれば出てくると思います。

お礼

二度もご説明いただきありがとうございます！
兄から聞いたことがありましたが、これがいわゆる「テーラー展開」「マクローリン展開」というのですね！また一つ勉強になりました！
これからも何かあればよろしくお願いいたします！

回答No.2

mmky

(x)=1－mx^2＋nx^4－cosx
f(0)=0　は自明
（x＞0）ならばということですから、
cosx=1-x＾2/2!+x＾4/4!-x＾6/6!+・・・
を使います。
f(x)=1－mx^2＋nx^4－cosx >0
1－mx^2＋nx^4－cosx >0
x^4>0 で両辺を割ってやれば、
1/x^4－m/x^2＋n－cosx/x^4
=－m/x^2＋n+1/2x^2-1/4!+x＾2/6!-・・　>0
m=1/2 の時、
=n-1/4!+x＾2/6!-・・　>0
x→+0, x＾2/6!-・・　>0 　であれば、
n=1/4!
つまり,　ここでの条件はx→ε (ε<<1)であってx=0を除いているんですね。
だから、m=1/2 を含むのが正しいということですね。

お礼

ご説明ありがとうございます！
ですが下の

cosx=1-x＾2/2!+x＾4/4!-x＾6/6!+・・・

の部分がイマイチ分かりませんでした。
勉強不足なようなので、調べてみます！

回答No.1

turugi0802

f(x)=1－mx^2＋nx^4－cosx
の式でnX^4とあるのですが、x^4の係数が例えば100の時と10の時でmの条件は変わってしまうと思うのですが・・・。

もう一度式を確認してもらえませんか？？

補足

確認してみましたが問題文や条件は上で書き込んだ通りのもので、他に一切条件は書いてありませんでした。