不等式の証明

質問

x≠0のとき、cosx＜1-x^2/2!+x^4/4!　を証明せよ。
この問題を一応解いてみたのですが

fx=1-x^2/2!+x^4/4!-cosx　とする。
f'x=-x+x^3/3!+sinx＞0
fxはx≠0で増加関数
f(0)=0
だからfx＞f(0)=0
よってcosx＜1-x^2/2!+x^4/4!

となりました。
しかし、f(0)=0
　　　　だからfx＞f(0)=0
の部分がx≠0なので間違ってると思うのですが、この部分はどのように証明すればいいのでしょうか。
また、別解があれば教えていただけるとうれしいです。

回答No.2

delta-22 · ベストアンサー

数学の(元)塾講師です。
後半の質問よりも証明に何点かおかしいところがあります。

1. f'(x)>0となる説明がない
f'(x)をぱっと見せられても0より大きいとは判断できません。
f'(x)>0となることを示す必要があります。

2. 増加関数という言葉の使い方がおかしい
増加関数というのはxの増加に伴いf(x)が増加するものを指します。
当然xが減少すればf(x)は減少します。
あなたの言葉を借りて、fxはx≠0で増加関数かつf(0)=0
であるならばx<0においてf(x)<0です。おかしいですよね？

まあ早い話、x≠0といわれているのでx>0とx<0で場合分けしましょう。

後半の問いですが別に間違ってません。x≠0なのですから。
lim(x→±0)f(x)を頭でイメージしてみるといいと思います。

お礼

適切な指導ありがとうございます。

回答No.1

ilikeit

あなたはf(x)の定義域にx=0を含めたうえで計算をしているので（特に明記されていたい場合関数の定義域は実数全体）特に問題はないと思いますけど・・・
そのうえで、「x≠0でも成り立つ」でいいと思います。

お礼

アドバイスありがとうございます。