- ベストアンサー
不等式の証明
x≠0のとき、cosx＜1-x^2/2!+x^4/4! を証明せよ。 この問題を一応解いてみたのですが fx=1-x^2/2!+x^4/4!-cosx とする。 f'x=-x+x^3/3!+sinx＞0 fxはx≠0で増加関数 f(0)=0 だからfx＞f(0)=0 よってcosx＜1-x^2/2!+x^4/4! となりました。 しかし、f(0)=0 だからfx＞f(0)=0 の部分がx≠0なので間違ってると思うのですが、この部分はどのように証明すればいいのでしょうか。 また、別解があれば教えていただけるとうれしいです。
- fenghuang
- お礼率68% (112/163)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数3
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
数学の(元)塾講師です。 後半の質問よりも証明に何点かおかしいところがあります。 1. f'(x)>0となる説明がない f'(x)をぱっと見せられても0より大きいとは判断できません。 f'(x)>0となることを示す必要があります。 2. 増加関数という言葉の使い方がおかしい 増加関数というのはxの増加に伴いf(x)が増加するものを指します。 当然xが減少すればf(x)は減少します。 あなたの言葉を借りて、fxはx≠0で増加関数かつf(0)=0 であるならばx<0においてf(x)<0です。おかしいですよね？ まあ早い話、x≠0といわれているのでx>0とx<0で場合分けしましょう。 後半の問いですが別に間違ってません。x≠0なのですから。 lim(x→±0)f(x)を頭でイメージしてみるといいと思います。
その他の回答 (1)
- ilikeit
- ベストアンサー率30% (9/30)
あなたはf(x)の定義域にx=0を含めたうえで計算をしているので（特に明記されていたい場合関数の定義域は実数全体）特に問題はないと思いますけど・・・ そのうえで、「x≠0でも成り立つ」でいいと思います。
お礼
アドバイスありがとうございます。
関連するQ&A
- 不等式の証明
問題 0 < x < π のとき、不等式 x cosx < sin x がなりたつことを示せ。 F(x)= sinx - x cosx とおくと、F' (x) = cosx - (cosx - x sinx) = x sinx ゆえに、0 < x < π のとき F' (x) > 0 よって、F (x) は 0≦x≦πで単調増加する。 ※ここで質問なんですが、なぜ、0 < x < πではなく、等号も含んだ、"F (x) は 0≦x≦πで単調増加する。" となるのでしょうか。 続)) このことと、F(0) = 0 から F (x) > 0 ゆえに、0 < x < π のとき、不等式 x cosx < sin x がなりたつ 終 ※ なぜ、F(0) = 0 を説明する必要があるのでしょうか。この F (x) の式 を見れば、0 <x < πの範囲におき、 F(x) > 0 であることは明らかに思えるのですが。。。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分による不等式の証明
x>0のとき sinx + cosx > 1+x-x^2 が成り立つことを証明したいのですが・・。 まず、f(x)=sinx + cosx -(1+x-x^2)とおいて f(x)'=cosx-sin-1+2x f(x)''=-sinx-cosx+2 となってしまい、答えに詰まってしまいました。 sinx+cosx=2ってあるんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の不等式の証明
現在解析の本を読んでいるのですが、 証明の途中で |1-cosx| + |x-sinx| ≦ min( 2|x| , x^2 ) という式が出てきました。 テーラー展開を使えば示せるといったことが書かれているのですが、どうもうまく示せません。 cosx,sinxをテーラー展開したらそれぞれ第一項が1,xになるのはわかるのですが、 残りの部分をどう処理すればこのような式になるのでしょうか…。 お力を貸していただけたらと思います。よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 関数の微分について
x>0のときに以下のことを証明せよ （以下では、>=は以上の意味、f'(x)は関数f(x)をxについて一回微分したとします） sinx > x-x^3/6 という問いについてなのですが、 左辺ー右辺＝sinx - (x-x^3/6)として f(x) = sinx - (x-x^3/6) = sinx - x + x^3/6 として、 f'(x) = cos - 1 + x^2/2 f''(x) = -sinx +x f'''(x) = -cosx + 1 となる。このとき、 -1+1 <= -cosx +1 <= 1+1より f'''(x) >=0となる。従って、f''(x) は増加関数なので、f''(0) = 0よりx>0において、f''(x) > 0となる。 f''(x) >0 より、f'(x)は増加関数となり、f'(0)=0からf'(x) > 0となる。 f'(x) >0 より、f(x)は増加関数となり、f(0)=0からf(x) > 0となる。 従って、 f(x) = sinx - (x-x^3/6) >0となり、 sin x > x - x^3/6となる でいいとは思うのですが、これでいいですか？ 何かほかのいい方法はありますか？ また解答としておかしい部分はありますか？細かいところでもいいので指摘お願いいたしまする
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分同士の等式の証明です。
積分同士の等式の証明です。 ∫[0 π/2]sin^3x/(sinx+cosx)dx=∫[0 π/2]cos^3x/(sinx+cosx)dxの証明です。 解けましたが、無駄に長大になっている気がします。 スマートな方法を教えてください。 ∫[0 π/2]sin^3x/(sinx+cosx)dx-∫[0 π/2]cos^3x/(sinx+cosx)dx=0 a=sinx b=cosx (a^3-b^3)/(a+b)の分母をなんとかします。 {(a+b)^2(a-b)-ab(a-b)}/(a+b) ={(a+b)^2(a-b)(1-ab)}/(a+b) =(a+b)(a-b)(1-ab) =(a^2-b^2)(1-ab) =a^2-b^2-a^3b+ab^3 何とか微分できそうです。 ∫[0 π/2]sin^2x dx-∫[0 π/2]cos^2x dx-∫[0 π/2]sin^3x*cosx dx-∫[0 π/2]sinx*cos^3x dx = (π/4)-(π/4)-(1/4)+(1/4)=0∴等式である。 たぶん解けていると思いますが、もっと良いやり方を教えてください。 宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明（大学受験問題）
お世話になります。 問題は、0≦ｘ≦π/2のとき、不等式2x/π≦sinxが成立することを示せです。 ヒントとして、微分法を用いるか、y=sinxのグラフの凸性に注目とあります。 自分は、微分法でやろうと、右辺引く左辺が常に０より大きいを証明しようと思いました。 が、微分すると、f'(x)＝cosx-2/πとなり、f'(x)＝０のときのxを求めようと思いましたが、求められず、困ってしまいました。 そこで、質問なのですが、この後、どういうふうに解答を作っていけばよいでしょうか。どうぞよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角不等式の解き方
(1)三角不等式cos2x+7cosx-3≦0 (0゜≦x≦360゜)を解け。 2cosx^2+7cosx-4≦0 (2cosx-1)(cosx+4)≦0 ・・・※ ここでcosx+4＞0より、 cosx≦1/2 よって60゜≦x≦300゜ ※部分なのですが、(2cosx-1)が0以下でないといけなくて、(cosx+4)は常に＋と考える みたいですが、どうしてこうなるのでしょうか。 積は０以下にならないといけないから、積の組み合わせは正と負となるのはわかる んですが、どうして、 ・(2cosx-1)が0以下でないといけない ・(cosx+4)は常に＋ なのでしょうか。 (2cosx-1)が常に＋、(cosx+4)は0以下としてはならない理由がわかりません。 それと、細かい話ですが、cosx+4＞0の＞は≧としてはいけないのはどうしてでしょうか。 (2)三角不等式cos2x+3sinx+1≧0 (0゜≦x≦360゜)を解け。 -2sin^2x+3sinx+2≧0 (2sinx+1)(sinx-2)≦0 sinx-2＜0より、2sinx+1≧0 ・・・※ sinx≧-1/2 よって、0゜≦x≦210゜、330゜≦x≦360゜ やはりこちらも※部分でつまづいてます。 なぜ正と負をこのように決められるのでしょうか。 しかも、最後の角の大きさを求めるとき、sinx≧-1/2のときの場合だけ求めて、 sinx＜2についてはふれられてないのはどうしてなのでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
適切な指導ありがとうございます。