ある不等式の解き方

質問

－∞≦x≦∞のとき
cosx>1-1/2 * x^2を証明せよという問題なのですが、2回微分を使って証明する方法がわかりません。
以下の方法ではどのくらいの点数でしょうか？
f(x)=cosx-1+1/2 * x^2
f(0)=0
f'(x)=-sinx+x
f'(0)=0
f''(x)=1-cosx
-1≦cosx≦1より
f''(x)≧0
（このへんが曖昧・・・）
よってf(x)>0

曖昧部分のところが書けないので、小テストでそのままだしてしまいました・・・どうかよろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.2

info22 · ベストアンサー

点数は出題者の主観や成績調整や厳しさの程度があったりする可能性があり何ともいえません。極端なことを言えば、完全に正解なら１０点、そうで無いなら０点。それでは零点が殆どになる。ではどこまで部分点を与えるか。これば主観が入ります。平均が５点になるように部分点を調整する。また部分点を与える箇所を決めておき、機械的にそこがあってたら部分点をあたえ、部分点の合計を点数にする。など、どのような考え方で点数をつけるかで得点や得点分布が変わります。点数にとらわれず、いかに完全な解答を作れるようにするかが大切です。

さて問題の解答はx≧0,x＜0で場合分けして、
それぞれの場合を2段論法で証明すればいいでしょう。

x≧0の場合
ステップ１）
f'(0)=0かつ
f''(x)≧0 (f'(x)が単調増加)
からf'(x)≧0

ステップ２）
f(0)=0かつ
f'(x)≧0 (f(x)が単調増加)
からf(x)≧0

ステップ１）、ステップ２）から
x≧0で f(x)≧0

x＜0の場合
f'(0)=0かつ
f''(x)≧0 (f'(x)が単調増加)
からf'(x)≦0

ステップ２）
f(0)=0かつ
f'(x)≦0 (f(x)が単調増加)
からf(x)≧0

ステップ１）、ステップ２）から
x＜0で f(x)≧0

以上から全てのxの範囲で
f(x)≧0
が証明できたことになります。

なお、途中の具体的な式は、質問者さんが計算した式（合っていますから）を補って下さい。

お礼

丁寧な回答、本当にありがとうございます。
部分点狙いで適当に書いたのが完全に仇となりました・・・。
完璧な回答を作るように努力するべきだった(汗）

回答No.1

noname#227152

パッと見たところでは、
　－∞≦x≦∞のままでは、あなたの解答では
　f'(x)=-sinx+x≧0 は出ませんよね。

まず最初に、
f(x)=cosx-1+1/2 * x^2
は、f(-x)=f(x)だから、偶関数であることを明記し、グラフがy軸に関して対称であることから、0≦xの範囲で　0≦f(x)をいえばいいのではないでしょうか。だから、部分点はあまりつかないのではないかと思います。間違ってたらごめんなさい。ただ、問題自体もちょっと？　x=0
のときは、問題の不等式の両辺はどちらも１で等しいと思うのですが。

お礼

ありがとうございます。
遇関数を示すのを忘れてました・・・。
大事なテストなのに、部分点がつかないとかなりきつそうです。。。
覚え違いで、問題は≧だったかも知れません。