関数の微分について

質問

x>0のときに以下のことを証明せよ

（以下では、>=は以上の意味、f'(x)は関数f(x)をxについて一回微分したとします）

sinx > x-x^3/6

という問いについてなのですが、

左辺ー右辺＝sinx - (x-x^3/6)として

f(x) = sinx - (x-x^3/6) = sinx - x + x^3/6

として、

f'(x) = cos - 1 + x^2/2

f''(x) = -sinx +x

f'''(x) = -cosx + 1

となる。このとき、

-1+1 <= -cosx +1 <= 1+1より

f'''(x) >=0となる。従って、f''(x) は増加関数なので、f''(0) = 0よりx>0において、f''(x) > 0となる。

f''(x) >0 より、f'(x)は増加関数となり、f'(0)=0からf'(x) > 0となる。

f'(x) >0 より、f(x)は増加関数となり、f(0)=0からf(x) > 0となる。

従って、
f(x) = sinx - (x-x^3/6) >0となり、

sin x > x - x^3/6となる

でいいとは思うのですが、これでいいですか？

何かほかのいい方法はありますか？
また解答としておかしい部分はありますか？細かいところでもいいので指摘お願いいたしまする

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>f'''(x) >=0となる。
>従って、f''(x) は増加関数なので、
増加関数ではなくて、単調増加関数としかいえませんね。

>f''(0) = 0よりx>0において、f''(x) > 0となる。
これはこの場合は成り立っているかも知れないが、常に成り立つとは限らないので「×」。「f''(0) = 0」だけから「x>0において、f''(x) > 0となる。」と結論付けるのはよくない。

たとえば　f''(x)=0　(0<=x<=1), f''(x)=(x-1)^2 (x>=1)
の場合、f'''(x)>=0が成り立っているが、x>0　で　f''(x) > 0とはいえない。

ここをクリアしないと、
f''(x)>=0は言えても f''(x)>0とはいえないことになる。

そうだと、以下も等号の問題が以下も同じなので、同じ問題が波及して行きます。

>f''(x) >0 より、f'(x)は増加関数となり、f'(0)=0からf'(x) > 0となる。
>f'(x) >0 より、f(x)は増加関数となり、f(0)=0からf(x) > 0となる。

つまり、x>0で　単調増加関数、f'(x)>=0, f(x)>=0は言えても
増加関数、f'(x)>0, f(x)>0とはいえないことになります。

そうすると

>f(x) = sinx - (x-x^3/6) >0となり、
f(x) = sinx - (x-x^3/6) >=0としかいえません。
なので

>sin x > x - x^3/6となる
ではなく
sin x >= x - x^3/6
としかいえません。

したがって、x>0では、等号が成り立たないことに言及して、増加関数になることを示しておかない解答としては不十分になるかと思います。

そのあたりを検討しなおして見てください。