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微分による不等式の証明
x>0のとき sinx + cosx > 1+x-x^2 が成り立つことを証明したいのですが・・。 まず、f(x)=sinx + cosx -(1+x-x^2)とおいて f(x)'=cosx-sin-1+2x f(x)''=-sinx-cosx+2 となってしまい、答えに詰まってしまいました。 sinx+cosx=2ってあるんでしょうか?
- remonfuru-tu
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No3で回答した者ですが、誤りがありました。 g(x)=sinx+cosx とおくと 2次までテーラー展開します。 g(x)=1+x+x^2/2g''(tx) となる0≦t≦1 tが存在する。高木貞治「解析概論」25節参照。 g(x)と(1+x+x^2)の差を計算すると g(x)-(1+x-x^2)=x^2/2(g''(x)+2) (1) となる。g''(x)=-sinx-cosx であるので、任意のxに対して sinx+cosx ≧1+x+x^2 が成り立つ。 以上で証明終わります。 -√2≦g''(x)≦√2 となる。 よって、2+g''(x)>0 である。 よって(1)はx>0のときは値はプラスである。
その他の回答 (5)
> sinx + cosx = 2 ってあるんでしょうか? ありません。 「単振動の合成」の公式を使ってやると, sin(x) + cos(x) は, (√2) sin(x + θ) という形に変形できるので,任意の x について, sin(x) + cos(x) < 2 が成り立ちます。 よって, f''(x) = 2 - (sin(x) + cos(x)) > 0 です。
第2次導関数まで求めたのは良いと思います。 後はf"(x)>0がポイント f"(x)>0 よりf'(x)は増加関数 f'(0)=0 だからx>0のときf'(x)>0 よってx>0のときf(x)も増加関数でf(0)=0 だからx>0のときf(x)>0
- uranasu
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xが大きい時は不等式は成り立たないと思います。 g(x)=cosx+sinxとすると、3次までテーラー展開するとg(x)=1+2-x^2/2+g'''(tx)x^3/6 となる0≦t≦1となるtが存在する。g(x)と右辺の差を計算すると g(x)-(1+x-x^2)=x^2/2(1+g'''(tx)x/3) となる。 xが十分大きくて、g'''(tx)がマイナスの時、 1+g'''(tx)x/3 はマイナスの値となり、不等式が成り立たなくなります。 ですから、xについての制限があると思います。 例えば、0≦x≦π/2 とかの制限が必要と思います。
- chi-kon
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-sinx-cosx+2>0(x>0)なので下に凸な関数ってことがわかります。 f'(x)は単調増加関数ってことですね。 f(0)=0 f'(0)=0なので f(x)>0(x>0)は成り立つのではないでしょうか。
- elevenPM
- ベストアンサー率0% (0/4)
まず左辺と右辺を別々に考えます。 (左辺)=√2sin(x+1/4π) (右辺)=-{(x-1/2)^2-5/4} 右辺の 最大値は√2 最小値は-√2 左辺の 最大値は-5/4 右辺が-√2の時、左辺はそれより小さい。 (二式のグラフを書くと分かりやすいです) になり常に(左辺)>(右辺)でいいんではないでしょうか? あまり自信ありませんが。。
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