微分 不等式の証明 なぜ等号？

質問

問題
x>0のとき、e^x>1+x+x^2/2を証明せよ。

解答例
f(x)=e^x-1-x-x^2/2とおくと、f '(x)=e^x-1-xであり、f ''(x)=e^x-1である。
x>0のとき、
f ''(x)>0より、x≧0でf '(x)は単調増加である。・・・A
f '(0)=0より、x>0で、f '(x)>0・・・(1)
さらに(1)より、x≧0でf (x)は単調増加であり、f(0)=0より、x>0で、f(x)>0
よって、x>0のとき、e^x>1+x+x^2/2が成り立つ。

質問
Aの部分についてです。問題は『x>0のとき、』の証明を求めているので、
『f ''(x)>0より、x>0でf '(x)は単調増加である。』では、ダメなのでしょうか。つまり、等号は不要なのではないですか。

仮に、等号が必要だとしても、Aの部分は『f ''(x)>0、かつ、f ''(0)=0より、x≧0でf '(x)は単調増加である。』とするべきではないですか。

高校生向けのご教授をお願い致します。

回答No.2

alice_44

ちょっとした言い回しの問題ですね。

「f'(x) は単調増加だから、x > 0 で f'(x) > f'(0) = 0」と
話を持っていくためには、f'(x) と f'(0) を比較する根拠として
「x ≧ 0 で f'(x) は単調増加」と言っておく必要があるのです。
そうでないと、x > y > 0 に対して f'(x) > f'(y) としか言えない。

y = 0 を代入する代わりに f'(x) ≧ lim[y→0]f'(y) = 0 と
してみたところで、極限をとるときに ＞ が ≧ に変わってしまうので、
f(x) が狭義単調増加でなく広義単調増加になってしまい、
e^x ≧ 1+x+x^2/2 でなく e^x ＞ 1+x+x^2/2 であることが
すっきり出ない。(f'(x) > 0 となる x が実際に存在することを経由して
ゴタゴタと説明できないではありませんが…)

「単調増加」を使うのではなく、平均値定理を直接使って、
x > 0 で f''(x) > 0 より f'(x) - f'(0) = f''(c) x > 0
(0 < c < x) とするのなら、x > 0 から x > 0 へと話をつなげて
よいのです。

お礼

回答有り難うございます。
「x > y > 0 に対して f'(x) > f'(y) としか言えない」という点を理解していませんでした。お陰様で理解出来ました。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#195146

>f ''(x)>0より、x≧0でf '(x)は単調増加である。・・・A

　次への準備として、f(x)の導関数f'(x)を考えたい関数としたいわけです。

>f '(0)=0より、x>0で、f '(x)>0・・・(1)

　ここで、f'(0)=0を使いたいわけですね。そして、f'(0)の正の近傍を含めた単調増加を使って、正のxについて必ずf'(x)が正であることを使いたいので、比較対象となるf'(0)=0、つまりx=0の場合を含めておきたい。

　もしそうしないとなると、「ε>0なる、x>0であるどんなxに対してもx>εであるようなεを考えて、……」と長々とやる必要性が出てきます。比較対象としてのf'(0)の値が使えないとすると、そうするしかありません。

　x=0について、f(0), f'(0), f"(0)のいずれでも存在して計算可能ですし、実際、f'(0)=0は簡単に計算できて、マイナスでないことから、この証明のためにはそうするメリットはありません。

　ですから「x≧0」としておけば、証明が簡潔で明瞭になるので、そうしてあるわけです。

お礼

回答有り難うございます。
「比較対象となるf'(0)=0、つまりx=0」が必要ということを、お陰様で理解出来ました。
ありがとうございました。