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微分を利用した不等式の証明

（１）　ｘlogx≧ｘ－１　（ｘ＞０） （２）　2ｘ/π＜sinx＜ｘ　（０＜ｘ＜π/2） 上記2問なのですが （１）は両辺の差をとり2回微分した後、単調増加であるから成立と解答しましたが、これは最小値が正数であるからと考えてよいのでしょうか。 （２）はアプローチの仕方がよくわかりません。どこから手を付ければよいのでしょうか。 回答お願いします。

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  • aqfeplus
  • ベストアンサー率50% (15/30)
回答No.1

基本は両辺の差をとり、微分して、増減表を丁寧に書く、に尽きます。 （１） あってますが、正しく表現しないと（”何が”単調増加なのかとか）、記述式では思わぬ減点となりますよ。 f(x)=xlogx-x+1 f'=（略）=logx f''=1/x なので、x>0の範囲でf'が単調増加。増減表書くと（増減表は略）、x=1でfが最小値をとり、 f(1)=0なので、f(x)≧0。 （２）冒頭に書いた基本通りです。 f(x)=sinx-(2/π)x f'=cosx-2/π f''= -sinx 0<x<π/2により、0<cosx<1、0<sinx<1だから、0<x<π/2の範囲で、f''<0。 f'(0)>0、f'(π/2)<0、f(0)=0、f(π/2)=0により、 増減表を書くと（増減表は略）、 （f'(α)=0を満たすαにて、fは最大値をとるけど、αは正直どうでもよくて、） 増減表によると、0<x<π/2の範囲でf>0。 g(x)=x-sinx g'=1-cosx>0　（0<x<π/2の範囲で） g(0)=0により、増減表を書くと、0<x<π/2の範囲でg>0。

terratam
質問者

お礼

ご回答ありがとうございました！ すごく丁寧でわかりやすいです！ 基本に忠実に解いていこうと思います。 ありがとうございました!!

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