三角関数の不等式の証明

質問

現在解析の本を読んでいるのですが、
証明の途中で

|1-cosx| + |x-sinx| ≦ min( 2|x| , x^2 )

という式が出てきました。
テーラー展開を使えば示せるといったことが書かれているのですが、どうもうまく示せません。
cosx,sinxをテーラー展開したらそれぞれ第一項が1,xになるのはわかるのですが、
残りの部分をどう処理すればこのような式になるのでしょうか…。

お力を貸していただけたらと思います。よろしくお願い致します。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

ANo.2のコメントについて。

　　f(x)= (√2)sin(x+π/4)+x-1
とおくと
　　f(x)= (√2)cos(x)+x-1
ですね。そして
　　0≦x≦3 → f(x)≧0
を言いたい。なので、「0≦x≦3の範囲におけるf(x)の最小値」が負にならないと言えれば良い。
そこでdf/dxを考えれば…

　あとは出来るでしょう。

　ま、何かの証明の途中で関数値の上限や下限を簡単に表すために用いられた命題だと思いますから、ちょろっとグラフ描いてみて、「ん。成立つね」ですっ飛ばしてもいいような部分ではありますが。

お礼

無事解決しました。ありがとうございました。

回答No.3

buturikyou

どーして日本の大学における数学教育というのはこんなナンセンスな問題をさせるんでしょうかねえ～、ご自分の将来に関わりがなければスルーするというのが得策かと存じましたよ・・。

回答No.2

stomachman

テイラー展開使わなくてもできるんじゃないかな．
　まず，問題の不等式はxを-xに置き換えても全く同じ．だから，x≧0についてだけ証明すれば十分であることは明らか．
　次に、三角関数の性質から
　　|1-cos(x)|=1-cos(x)≦2
　　|x-sin(x)| ≦ x-1
であるから，
　　|1-cos(x)| + |x-sin(x)| ≦|x+1|+2
　なのでx≧3のとき |x+1|+2≦min(2|x|, x^2) であるのは明らか．
　従って， 0≦x＜3の範囲で与式が成り立つことを言えば十分．その範囲では
　　|1-cos(x)|+|x-sin(x)|
　　=1-cos(x)+x-sin(x)
　　=1+x-(cos(x)+sin(x))
　　= 1+x-(√2) sin(x +π/4)
が成り立つ． なので0≦x≦3のとき
　　1+x-(√2) sin(x +π/4) ≦2x
　　1+x- (√2) sin(x +π/4) ≦x^2
を言えば、すなわち
　　1-x≦　(√2) sin(x +π/4) 　…(1)
　　0 ≦(√2) sin(x +π/4)-(1+x- x^2)　…(2)
を言えば十分． (1)は出来るでしょう． (2)は
　　f(x)=(√2) sin(x +π/4)-(1+x- x^2)
とおくと，f(0)≧0は明らか．そこで，「0≦x≦3ならばf'(x)≧0である」ということを示す．そうすると，f(x)は0≦x≦3で単調増加であり，従って，(2)が成り立つ．

補足

わかりやすい解答ありがとうございます。
しかしながら
＞　1-x≦　(√2) sin(x +π/4) 　…(1)
をうまく示すことができません。
これはそんなに簡単に示せるものなのでしょうか。

回答No.1

hugen

cosx=1+1/2*x^2*cos''ξ