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高３受験生 関数とグラフの問題
info22_の回答
#2です。 > yの範囲がy≧0だったのがグラフの範囲がｙ＜０（正確には－１≦ｙ≦１でしょうか。）でもよくなってしまうことが理解できなく困っています。「置き換えでyの情報が失われます」という所にヒントがあるように思えるのですが。 同じ文字yを使って置換えていても全く別物と認識しないといけません。つまり、置換え後の縦軸の文字をyを使わずにzを使ってみれば頭の中で混乱しないでしょう。たまたま同じグラフの縦軸(y軸)ですから変数にyを使っているに過ぎません(質問者さんが投稿質問のなかで置換えて使っていたのを生かして使用しただけ）。置き換えでzを使う場合はA#2の添付図の縦軸の変数はzになります(横軸はxのまま)。 たとえば,y=(x+1)^2+5とy=-2(x-2)^2の２つのグラフを考えているとき、同じ文字のxとyととを使っていても、前者のグラフのyの範囲y≧5が後者のグラフのyの範囲にならないことは明らかでしょう。なぜなら後者のグラフのyの範囲はｙ≦0だからです。 置換え前のyの情報は置換え後のyつまりzに引き継がれず、xだけが同じxで同じ情報を持っています。これを「置き換えでyの情報が失われます」と説明したまでです。 yをzで置き換え書き直してみると（質問者さんの頭の中の困難を一掃するため） >x≧0かつy≧0の時 x+2y=2、y=(1/4)x^2－aから始まりｘの範囲が0≦x≦2と狭まるのはわかるのですが、 >> a =1/4x2＋(x/2)-1としてｙ=a と y=(1/4)x^2＋(x/2)-1…(★)の交点 >>の置き換えでyの情報が失われます。 a =(1/4)x^2＋(x/2)-1としてz=a と z=(1/4)x^2＋(x/2)-1…(★)の交点 となります。別に、yをzに置換える前のyの条件 >>yを置換える前にy≧0の条件をxの条件にしておきます。 >> x+2y=2 → y=1-(x/2) …(A) のxは置換え前後で同じもの（同じ情報を保持している）です。zで置換えれば、置換え後のzの条件は（A)式のy=1-(x/2)≧0から出てくるx≦2から来る条件ですし、 置換え後のxについての情報は置換え前の(1),(2)や(A)に適用できます。置換え後のzの情報は置換え前のyとは無関係な別物ですから、zを置換え前のyに適用は出来ません。 z=aのzが実数aの制約だけですから実数の全範囲で変化しても、置換え前のyの範囲y≧0（正確には0≦y≦1）とは直接的には無関係です。無関係と言っても、置換え前後で共通なxやaは同じものなので、xやaを通じての情報は共有されます。この意味では間接的な関係はあります。 >ｘ≧0かつy＜0の時などは示していただいた青線のグラフのｘ≧0かつy＜0の部分に目が行きy=aとの交点がないと判断してしまったわけです。 この場合も置換え後のyを別文字のzの変数に変えてみてください。そうすれば（質問者さんの頭の中の）混乱をさけることが出来るでしょう。 >>ｘ≧0かつy＜0の時 x－2y=2、y=(1/4)x^2－aから >> a =(1/4)x^2 -(x/2)+1として z＝aとz=(1/4)x^2 -(x/2)+1 …(☆)の交点 >>yを置換える前にy＜0の条件をxの条件にしておきます。 >> x-2y=2 → y=(x/2)-1 …(C) >>y＜0 → x＜2 >>x≧0とあわせて 0≦x＜2…(D) 置換え後の縦軸zの >>グラフのxの範囲は(D)の範囲です。 >>置換え後の定数分離法のグラフの交点のx座標は(1),(2)の交点の座標と同じですが >>y座標は式(C)から求める必要があります。 zとyは別物なので置換え後のx,aの情報は、置換え前と同じ(1),(2)にも適用でき、 そこから交点のy座標（置換え前のy）が得られるのです。 同じx,y文字を使ってもそれぞれの方程式のx,yが同じとは限りません。 それぞれの方程式のグラフを描いても、x,yは別々で無関係です。交点や共有点を考える場合も。その交点や共有点を考える場合だけ、交点や共有点だけで2つの方程式やグラフのx,yの間に関係が生じて、(x,y)の組が決まるのです。交点や共有点以外では2つの方程式のそれぞれのyは、同じ文字yを使っていても互いに関係はありませんね。 頭の中がすっきりしたなら幸いです。
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御回答ありがとうございました。yとyが違う物だという本質的なことを理解していませんでした。よくわかりました。ご丁寧な説明ありがとうございました。