高３受験生 関数とグラフの問題

質問

｜x｜+2｜y｜=2 …(1)　y=1/4x2－a…(2) (1/4かけるｘの2乗ひくaです)
のグラフの交点を求める問題です。(1)をｘ≧0かつy≧0の時　x+2y=2としてグラフをかき、対称性を利用してｘ≧0かつy＜0、ｘ＜0かつy≧0、ｘ＜0かつy＜0の時のグラフをかいて、(2)のグラフをy軸を中心に上下に移動して解を求めると答えがでます。
これを定数分離を利用して
ｘ≧0かつy≧0の時　x+2y=2、y=1/4x2－aから a =1/4x2＋x/2－１としてｙ＝aとy=1/4x2＋x/2－１の交点やｘ≧0かつy＜0の時　x－2y=2、y=1/4x2－aから a =1/4x2－x/2＋１としてｙ＝aとy=1/4x2－x/2＋１の交点を求めようとしても全く解けなくなります。ｘ≧0かつy＜0の範囲にｙ＝aとy=1/4x2－x/2＋１の交点が存在しません。定数分離を利用した解き方のどこが間違っているのでしょうか？お教えください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

> yの範囲がy≧0だったのがグラフの範囲がｙ＜０（正確には－１≦ｙ≦１でしょうか。）でもよくなってしまうことが理解できなく困っています。「置き換えでyの情報が失われます」という所にヒントがあるように思えるのですが。

同じ文字yを使って置換えていても全く別物と認識しないといけません。つまり、置換え後の縦軸の文字をyを使わずにzを使ってみれば頭の中で混乱しないでしょう。たまたま同じグラフの縦軸(y軸)ですから変数にyを使っているに過ぎません(質問者さんが投稿質問のなかで置換えて使っていたのを生かして使用しただけ）。置き換えでzを使う場合はA#2の添付図の縦軸の変数はzになります(横軸はxのまま)。

たとえば,y=(x+1)^2+5とy=-2(x-2)^2の２つのグラフを考えているとき、同じ文字のxとyととを使っていても、前者のグラフのyの範囲y≧5が後者のグラフのyの範囲にならないことは明らかでしょう。なぜなら後者のグラフのyの範囲はｙ≦0だからです。

置換え前のyの情報は置換え後のyつまりzに引き継がれず、xだけが同じxで同じ情報を持っています。これを「置き換えでyの情報が失われます」と説明したまでです。
yをzで置き換え書き直してみると（質問者さんの頭の中の困難を一掃するため）

>x≧0かつy≧0の時　x+2y=2、y=(1/4)x^2－aから始まりｘの範囲が0≦x≦2と狭まるのはわかるのですが、

>> a =1/4x2＋(x/2)-1としてｙ=a と y=(1/4)x^2＋(x/2)-1…(★)の交点
>>の置き換えでyの情報が失われます。

a =(1/4)x^2＋(x/2)-1としてz=a と z=(1/4)x^2＋(x/2)-1…(★)の交点
となります。別に、yをzに置換える前のyの条件

>>yを置換える前にy≧0の条件をxの条件にしておきます。
>>　x+2y=2　→ y=1-(x/2) …(A)

のxは置換え前後で同じもの（同じ情報を保持している）です。zで置換えれば、置換え後のzの条件は（A)式のy=1-(x/2)≧0から出てくるx≦2から来る条件ですし、
置換え後のxについての情報は置換え前の(1),(2)や(A)に適用できます。置換え後のzの情報は置換え前のyとは無関係な別物ですから、zを置換え前のyに適用は出来ません。
z=aのzが実数aの制約だけですから実数の全範囲で変化しても、置換え前のyの範囲y≧0（正確には0≦y≦1）とは直接的には無関係です。無関係と言っても、置換え前後で共通なxやaは同じものなので、xやaを通じての情報は共有されます。この意味では間接的な関係はあります。

>ｘ≧0かつy＜0の時などは示していただいた青線のグラフのｘ≧0かつy＜0の部分に目が行きy=aとの交点がないと判断してしまったわけです。

この場合も置換え後のyを別文字のzの変数に変えてみてください。そうすれば（質問者さんの頭の中の）混乱をさけることが出来るでしょう。

>>ｘ≧0かつy＜0の時　x－2y=2、y=(1/4)x^2－aから
>> a =(1/4)x^2 -(x/2)+1として
z＝aとz=(1/4)x^2 -(x/2)+1 …(☆)の交点

>>yを置換える前にy＜0の条件をxの条件にしておきます。
>>　x-2y=2　→ y=(x/2)-1 …(C)
>>y＜0 → x＜2
>>x≧0とあわせて　0≦x＜2…(D)

置換え後の縦軸zの
>>グラフのxの範囲は(D)の範囲です。
>>置換え後の定数分離法のグラフの交点のx座標は(1),(2)の交点の座標と同じですが
>>y座標は式(C)から求める必要があります。

zとyは別物なので置換え後のx,aの情報は、置換え前と同じ(1),(2)にも適用でき、
そこから交点のy座標（置換え前のy）が得られるのです。

同じx,y文字を使ってもそれぞれの方程式のx,yが同じとは限りません。
それぞれの方程式のグラフを描いても、x,yは別々で無関係です。交点や共有点を考える場合も。その交点や共有点を考える場合だけ、交点や共有点だけで2つの方程式やグラフのx,yの間に関係が生じて、(x,y)の組が決まるのです。交点や共有点以外では2つの方程式のそれぞれのyは、同じ文字yを使っていても互いに関係はありませんね。

頭の中がすっきりしたなら幸いです。

お礼

御回答ありがとうございました。yとyが違う物だという本質的なことを理解していませんでした。よくわかりました。ご丁寧な説明ありがとうございました。

回答No.2

info22_

>これを定数分離を利用して
> x≧0かつy≧0の時　x+2y=2、y=(1/4)x^2－aから

yを置換える前にy≧0の条件をxの条件にしておきます。
　x+2y=2　→ y=1-(x/2) …(A)
y≧0 → x≦2
x≧0とあわせて　0≦x≦2…(B)
このxの範囲で

> a =1/4x2＋(x/2)-1としてｙ=a と y=(1/4)x^2＋(x/2)-1…(★)の交点

の置き換えでyの情報が失われます。グラフのxの範囲は(B)の範囲です。
置換え後の定数分離法のグラフの交点のx座標は(1),(2)の交点の座標と同じですが
y座標は式(A)から求める必要があります。

>ｘ≧0かつy＜0の時　x－2y=2、y=(1/4)x^2－aから
> a =(1/4)x^2 -(x/2)+1としてｙ＝aとy=(1/4)x^2 -(x/2)+1 …(☆)の交点
これも同様です。

yを置換える前にy＜0の条件をxの条件にしておきます。
　x-2y=2　→ y=(x/2)-1 …(C)
y＜0 → x＜2
x≧0とあわせて　0≦x＜2…(D)

グラフのxの範囲は(D)の範囲です。
置換え後の定数分離法のグラフの交点のx座標は(1),(2)の交点の座標と同じですが
y座標は式(C)から求める必要があります。

(★)と(☆)のグラフ（xの範囲は(B),(D)の範囲）を図示すると添付図のようになります。
(★)が黒実線、(☆)が青実線で描いてあります。
赤実線がy=aのグラフで aを変化させると交点の個数が変わります。

>交点を求めようとしても全く解けなくなります。
>交点が存在しません。
何か勘違いしてませんか？
図のグラフから交点が存在することは明らかでしょう。

>定数分離を利用した解き方のどこが間違っているのでしょうか？
単なる質問者さんの勘違いでしょう。

y=aをaを変えてグラフの交点のx座標((1),(2)の交点のx≧0のx座標と同じ、
y座標は異なるを調べると以下のようになります。対応する(1),(2)の交点も
示しました。

|a|>1の時　交点はなし。

a=-1の時　グラフの交点は1個でx座標は x=0（黒実線との交点)
　(1),(2)の交点は（A)からy=1なので (0,1)
-1<a<3/4の時　グラフの交点は1個でx座標は x=-1+√(4a+5)（黒実線との交点)
　(1),(2)の交点は (A)からy=(3-√(4a+5))/2なので,
対称性から (±(-1+√(4a+5)),(3-√(4a+5))/2)　の２個

a=3/4の時 グラフの交点は２個でx座標は
　x=-1+√(4a+5)（黒実線との交点）,1(青実線との交点)
　(1),(2)の交点は (A)からy=(3-√(4a+5))/2,(C)からy=-1/2　なので,
　対称性から (±(-1+√(4a+5)),(3-√(4a+5))/2)、(±1,-1/2)の４個
3/4＜a＜1の時 グラフの交点は４個でx座標は
　x=-1+√(4a+5)（黒実線との交点）,1+√(4a-3)(青実線との交点)
　(1),(2)の交点は (A)からy=(3-√(4a+5))/2,(C)からy=(-1±√(4a-3))/2　なので,
　対称性から (±(-1+√(4a+5)),(3-√(4a+5))/2)、
　(±(1+√(4a-3)),(-1+√(4a-3))/2)、(±(1+√(4a-3)),-(1+√(4a-3))/2)　の6個
a=1の時　グラフから交点は２個でx座標は
　x=0(青実線との交点),x=2(青実線、黒実線との交点)の２個
　(1),(2)の交点は (A)からy=0,(C)から y=-1,0 なので
　対称性から (±2,0)、(0,-1)の3個

となります。
よく読んでフォローしてみてください。

補足

グラフまで書いてくださりわかりやすい説明本当にありがとうございます。一点わからない点があるのですが、x≧0かつy≧0の時　x+2y=2、y=(1/4)x^2－aから始まりｘの範囲が0≦x≦2と狭まるのはわかるのですが、yの範囲がy≧0だったのがグラフの範囲がｙ＜０（正確には－１≦ｙ≦１でしょうか。）でもよくなってしまうことが理解できなく困っています。「置き換えでyの情報が失われます」という所にヒントがあるように思えるのですが。
ｘ≧0かつy＜0の時などは示していただいた青線のグラフのｘ≧0かつy＜0の部分に目が行きy=aとの交点がないと判断してしまったわけです。

回答No.1

spring135

ｙ＝aと置いているところはすべて間違いです。

・(1)はひし形、(2)は放物線というのはわかりますか・
・グラフを描けばどういうとき交点があって、どういうとき（つまりaの値によって)交点がないという見当がつくでしょう。こんなのを場合分けなんて退屈なことをやるものではありません。
・対称性を考えればx≧0でとけば後はxの符号を変えるだけです。要するにx+2y=2と(2)の交点、x-2y=2と(2)の交点を調べればよろしい。

グラフを描きながら考えること、これがポイントです。

補足

回答ありごとうございます。菱形と放物線の関係を利用して正解に至りました。別解として、定数分離を利用し解けないものかと考え、ｘ≧0かつy≧0の時　x+2y=2、y=1/4x2－aから a =1/4x2＋x/2－１としてｙ＝aとy=1/4x2＋x/2－１のグラフの交点を求めていくなどという方法は間違いでしょうか。