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二次方程式の解の配置の問題について教えてください。

二次方程式 X2+ (a+2)-a+1=0について (1) 解の1つが-2≦X≦0 の範囲にあり,他の解がX<-2 またはX>0 の範囲あるような定数aの          とりうる範囲をもとめよ。 (2) 2つの解(「重解を含む) のうちすくなくとも1つが -2≦X≦0の範囲にあるような定数aの取りう        る範囲を求めよ。    この問題をグラフの二次関数と直線の交点を求めて解く方法がわかりません    回答では、a=3/1, a=1 の直線の間に、y=a(X+1)二乗の直線があるのですが    a=3/1, a-=1はどう求めればいいのですか    そして、なぜその間に、y=a(X+1)二乗のグラフがあるのかもわかりません。       どなたかわかる方、よろしくお願いします。    

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  • gohtraw
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f(x)=x^2+(a+2)x-a+1 とおいて、 f(-2)とf(0)の値に着目します。 (1) f(-2)が正でf(0)が負の場合、およびその逆の場合、 y=f(x)のグラフはx=-2とx=0の間のどこか一点でx軸と 交わり、もうひとつの交点はー2<=x<=0の範囲外に なります。f(-2)とf(0)の符号が逆ということは、 f(-2)・f(0)<0 ということで、 (-3a+1)(-a+1)<0 1/3<a<1 ・・・☆ 続いてf(0)=0のとき、a=1なので f(x)=x^2+3x であり、f(x)=0とおくとx=0、-3 これは求められる条件を満たします。 ・・・★ 一方f(-2)=0のときa=1/3なので f(x)=x^2+7x/3+2/3 なので f(x)=0とおくと x=-2、-1/3 これは二つの解がいずれもー2<=x<=0の範囲にあるので 求められる条件を満たしません。 そして、二次方程式f(x)=0が二つの実数解をもつこと から判別式>0 a^2+8a>0 a<-8、0<a ・・・◆ 以上より、求めるaの範囲は☆および★および◆より 1/3<a<=1となります。 (2) 少なくとも1つの解がー2<=x<=0の範囲にあるということは、 ・二つの解(重解含む)がいずれもこの範囲にある ・二つの解のうち片方がこの範囲にあり、もうひとつはこの範囲外にある のいずれかです。後者は(1)で済んでいるので、前者を考えます。 まず実数解をもつことから判別式>=0 よってa<=-8、0<=a 次に、放物線y=f(x)がー2<=x<=0の範囲でx軸に接する、 またはx軸と二点で交わるので、 ・f(-2)>=0 かつf(0)>=0 ・放物線の軸がー2<=x<=0の範囲にある ことが必要です。二番目の条件を抜かすと解がー2<=x<=0の 範囲外にある場合も含んでしまうことになります。 前者の条件より a<=1/3 後者の条件より -2<=-(a+2)/2<=0            -2<=a<=2 以上より 0<=a<=1/3 ・・・(あ) よって求める範囲は(あ)と(1)の結果を合わせて 0<=a<=1

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質問者からのお礼

とても分かりやすく教えていただき本当に嬉しいです^^ ありがとうございました!

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • gohtraw
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放物線y=-(x+1)^2をxy平面に描き、定点(1,0)を通る直線との 交点を考えると、 a=0のとき、両者は(-1、0)で接しています。ここからaの値を大きくすると 両者は二点で交わるようになります。このとき、a=1/3になると、両者の交点 のうち左側は(-2、-1)です。ここまでが、二つの交点がいずれも -2<=x<=0の範囲にあることになります。よって、 0<a<=1/3のとき両者はー2<=x<=0の範囲に二つの交点を持つ ということになります。 ・・・(あ) さらにaを大きくしていくと、a=1となったとき二つの交点の右側は(0、-1) です。ここまでが、二つの交点の少なくとも一つがー2<=x<=0の 範囲にあるということになります。よって、 1/3<a<=1のとき両者はー2<=x<=0の範囲に一つの交点を持つ ということになります。 ・・・(い) ではa<0の場合はどうなるかというと、与えられたxの範囲には交点を持ちません。 この問題の(1)は上記の(い)に相当します。 (2)は(あ)と(い)にa=0の場合(重解の場合)を合わせたものになります。 言葉のみでは実感しにくいと思うので、必ず図を書いて考えてみて下さい。 ポイントは、放物線と直線の交点の数と位置(-2<=x<=0の範囲に 入るか否か)です。

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質問者からの補足

ありがとうございます^^。もしよろしければこの問題の計算で解く別解のほうも教えていただけるでしょうか?

  • 回答No.1
  • gohtraw
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>二次方程式 X2+ (a+2)-a+1=0  何か抜けていませんか? >a=3/1, a=1 の直線  どんな直線ですか? >y=a(X+1)二乗の直線  これは直線ではないでしょう。 >回答では  問題周か何かの回答の方針に沿った説明を希望されるのであれば、  その回答をもう少し詳しく書いて下さい。

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質問者からの補足

回答ありがとうございます^^。問題集の回答では、 x2+(a+2)x-a+1=0⇔a(x-1)=-(X+1)2であるから、与えられた方程式の実数解は 直線:y=a(X-1) 放物線:y=-(x+1)2 の共有点のx座標である 2次関数と傾きaで定点(1.0)を通る直線との交点を求めています。 直線の1点をピンで(0.1)に固定してゆっくりと回転させていき交点をしらべるイメージ。と説明されています。

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