関数の問題です。教えてください！

質問

関数ｆ（ｘ）＝ｘの3乗－２分の３×（a＋１）×ｘの2乗＋３aｘ－１がある。ただし、aは定数で
aは１でないとする。ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフとｘ軸が異なる2つの共有点をもつとき
aの値を求めよ。

判別式を使うのは分かるのですが、そこからどう解けばいいのかが分かりません。
詳しい解き方を教えてください！

回答No.3

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは。

　３次関数なので、問題の条件に合うグラフは、図のアまたはイの場合になります。

つまりは、極大値（山になうところ：図のα）か極小値（谷になるところ：図のβ）でx軸に接することになります。

これで、A、Bのx座標という２つの解を持ちます。

　したがって、αとβをもとめますと、予式を微分して、

　ｙダッシュ＝３ｘ＾２ー３（ａ＋１）ｘ＋３ａ

　αとβでｙダッシュ（つまり接線の傾き）は０になりますから、

　　3｛x^2-(a+1)+a｝＝０　 つまりは　x~2-(a+1)+a=0

　　因数分解して、（x-1)(x-a)=0

　　　　ｘ＝１　または　x=a　ただし図のようになるには、　　ａ＜＞１　（ａは１ではない）

　　これで、ｘ＝１のときｙ＝０、かまたはｘ＝ａ　のときｙ＝０

　　ｘ＝１のとき、　ｘを予式に代入して、1-3/2(a+1)+3a=1=0　これをとくとa=1　上の条件から不適当。

　　ｘ＝ａのとき、ｘを予式に代入して、ａ^3-3/2(ａ＋１）ａ＾２＋３ａ＾２－１＝０

　　　整頓して、ａ＾３－３ａ＾２－１＝０、　因数分解すると

　　　(ａ－１）（ａ＾２－２ａ－２）＝０　ａは１ではないから、ａ＾２－２ａ－２＝０　をとくと

　　　ａ＝１＋－（ルート３）

　　　このとき、グラフは、ウとエのようになります。

　　　なお、ａ＝１のときは、極大値と極小値がなくなりますから、条件に合わない。

　　グラフは、オのようになります。

回答No.2

ereserve67

f(x)=x^3-(3/2)(a+1)x^2+3ax-1(a≠1)

ですね．2つの共有点をもつには実数α，β（α≠β）があって

（☆）f(x)=(x-α)^2(x-β)

とかけるはずです．この場合

（★）f'(x)=2(x-α)(x-β)+(x-α)^2

=3(x-α){x-(α+2β)/3}

となりますから，αはf'(x)=0の解でもあります．（このときｆ'(x)=0のもう一つの解(α+2β)/3はαと一致することはありません．なぜなら，一致するとすればα=(α+2β)/3⇔α=βとなってα≠βに反するからです）

さて，

f'(x)=3x^2-3(a+1)x+3a=3(x-a)(x-1)

であるからf'(x)=0は異なる2つの解をもちます(a≠1)．これが★と一致するためには，(α,(α+2β)/3)=(a,1)または(1,a)です．

(1)α=aのとき(α+2β)/3=1,β=(3/2)(1-α/3)=(3/2)(1-a/3)=(-a+3)/2

f(a)=a^3-(3/2)(a+1)a^2+3a^2-1

=(1-3/2)a^3+3a^2/2-1

=-a^3/2+3a^2/2-1

=-(1/2)(a^3-3a^2+2)

=-(1/2)(a-1)(a^2-2a-2)=0

a≠1より

a^2-2a-2=0

a=1±√3

(2)α=1のとき(α+2β)/3=a,β=(3/2)(a-α/3)=(3/2)(a-1/3)=(3a-1)/2

f(1)=1-(3/2)(a+1)+3a-1

=(3/2)(a-1)=0

よりa=1となるが，これはa≠1に反する．

(1)，(2)よりa=1±√3（答）．

※このとき，(1)からα=a,β=(-a+3)/2だから，☆は

f(x)=(x-a)^2{x-(-a+3)/2}

=(x-1∓√3)^2{x-(1∓√3/2)}

となります．

お礼

すばやい回答ありがとうございます！
助かりました。
もう一度、自分で確認してみたいと思います。

回答No.1

-q7P2izb__

こんにちは。
この方程式が3次関数である場合、
f(x)=0は一般に1つまたは3つの解を持つと思いますが、
今回2つの解を持つと捉えたところ、ご存知かと思いますが、
重解が含まれていると考えました。
ようは、極値？がx軸に接している曲線をイメージしました。

そのため、以下のような方法で解くといいかと思います。
f(x)=(x-s)(x-t)^2とおいて、
これを展開した式をなんというか忘れましたが、
元の方程式に当てはめて、みると3つの変数t,s,aに対して、
3つの式がそれぞれ成り立ちますから、（下記のような）
2t+s=3/2(a+1)
2ts+t^2=3a
st^2=1
これを面倒ですが解いて、a=1でない条件を含めて
解を導出することが可能と思います。

以上です。
（数学には長けていないので間違ってらすいません）