2次関数の解の存在範囲について

質問

2次関数y＝x2乗－2ax+4a+1のグラフが次の条件を満たすとき、定数aの値の範囲を求めよ。
(1) -1<x<1の範囲でx軸と異なる2点で交わる。
(2) -1<x<0,0<x<1のそれぞれの範囲でx軸と交わる

この２つの問題の解き方が分かりません。
分かりやすく教えてください。

回答No.4

178-tall · ベストアンサー

>2次関数 y＝x^2－2ax+(4a+1) のグラフ …

落とし穴にはまらぬよう、「ステッブバイステッブ」でも …。

(1) その「2 次関数」が相異なる二実根を持つには？

判別式 a^2 - (4a+1)＞0 でなければならぬ。
つまり (a-2)^2＞5 → a＞2+√5 または a＜2-√5 だが、
二実根が -1 と +1 の間にくるのは a＜2-√5≒ - 0.2361 ... のほうらしい。

(2) 「2 次関数」が xo = -1 (または 0, +1) で零になるときの a は？

たとえば、x^2 － 2ax + (4a+1) = (x-xo)(x-b) = x^2 - (xo+b)x + xob にて xo = -1 としてみる。
xo = -1 にて 2a = -1+b かつ 4a+1 = -b → a = -1/3 。
同様に、
xo = 0 のとき a = -1/4 。
xo = 1 のとき a = -1 。

ここまでの結果を整理していけば、「２つの問題」の解にたどり付けそうです。

>

お礼

ありがとうございます！

回答No.3

f272

x^2の係数が正なので放物線は下に凸、放物線の軸はx=aのところ、ということくらいは確認してから始めましょう。
(2)のほうが簡単なので、そちらから。
与えられた範囲でx軸と交わるのなら、
x=-1のとき、y>0
x=0のとき、y<0
x=1のとき、y>0
であれば、条件に合いますね。
次は(1)です。
x=-1のとき、y>0
x=1のとき、y>0
であって、軸が-1と1の間にあって、判別式が正(x軸と2点で交わる)であれば、条件に合いますね。

お礼

分かりました。
ありがとうございます。

回答No.2

gohtraw

このグラフは下に凸の放物線ですね。それを念頭において、下記を考えてみてください。
(1)
x=-1を代入したら、ｙの値は正？負？
x=1を代入したら、ｙの値は正？負？
このグラフの頂点のｙ座標は正？負？

(2)
x=-1を代入したら、ｙの値は正？負？
x=1を代入したら、ｙの値は正？負？
x=0を代入したら、ｙの値は正？負？

お礼

ありがとうございます。
さっそく解いてみます！

回答No.1

Nouble

まぁ、先ずは
y が0に、なり得る
x の、値には
何が、なり得るか
調べてください

て、調べる方法
と、しては
因数分解が
妥当でしょう

yが　0に、なり得る時
ですから
y＝x2乗－2ax+4a+1の
yが0になり得る時
を、見る訳で

故に
yに　0を、置き換えます
0.＝x2乗－2ax+4a+1
ですね

因数分解は
http://www.geocities.jp/iamvocu/NaturalSci/math/insubunkai-1.htm
で、良いですかね？

で、
yが0に、固定されたので
aと、xの、
二次二項式に
なります、よね？

二項の内
条件に、従い
Xを、設定すれば

aが、出ませんか？

お礼

ありがとうございます。
さっそくやってみます