助けてください。統計学の問題がわかりません。

質問

統計学の問題です。
大学で出た問題ですが、全くわかりません。どなたか、ご教授お願いします。
どの公式を使えばいいのかもわかりません。
計算過程も書いてもらえると助かりますm(__)m

問題：
あるバス亭での発車時刻は毎時5分、１５分、３５分、５０分となっている
このバス亭に発車時刻を知らずにきた人が発車まで待つ時間をＸ分とする

(a)Ｘの確率密度変数を求めよ
(b)Xが１０以上となる確率を求めよ
(c)Ｘの期待値を求めよ。。

回答No.7

kamiyasiro

#6です．

この回答システムはヒドイですね．スペースが全部削られる！
全角で載せます．

　　１　２　３　４　５　６　７　８　９１０１１１２１３１４１５１６１７１８１９２０
　０・・・・・・・・１
　１・・・・・・１
　２・・・・１
　３・・１
　４１
　５・・・・・・・・・・・・・・・・・・１
　６・・・・・・・・・・・・・・・・１
　７・・・・・・・・・・・・・・１
　８・・・・・・・・・・・・１
　９・・・・・・・・・・１
１０・・・・・・・・１
１１・・・・・・１
１２・・・・１
１３・・１
１４１
１５・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１
１６・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１
１７・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１
１８・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・１
～
～
５５・・・・・・・・・・・・・・・・・・１
５６・・・・・・・・・・・・・・・・１
５７・・・・・・・・・・・・・・１
５８・・・・・・・・・・・・１
５９・・・・・・・・・・１
合計４　４　４　４　４　４　４　４　４　４　３　３　３　３　３　１　１　１　１　１

あとの箇所のスペースの奪われたことによる見辛さは勘弁して下さい．

回答No.6

kamiyasiro

応用統計学で学位（工学）があり，企業で品質管理の推進をする立場の者です．
もう遅いかもしれませんが，回答を示します．

バス停に来る人は，一様分布の確率で来るという前提で話を進めます．

(a)確率密度関数を求めよ（関数ですね）

これは，公式とかは無く，観測によって求めます．
いま，毎時0分から59分まで，1分毎に1名の人がバス停に来るとします．
その人が何分待つかを，表に1で表わします．
発車時刻ジャストに来た人は間に合わなかったとしています．

　　1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （分）
0 1
1 1
2 1
3 1
4 1
5 1
6 1
7 1
8 1
9 1
10 1
11 1
12 1
13 1
14 1
15 1
16 1
17 1
～
～
55 1
56 1
57 1
58 1
59 1

計 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1

■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
5 10 15 20（分）

という，確率密度関数のグラフになります．
さて，縦軸ですが，確率密度関数は，－∞から＋∞まで積分した時に1になる，
すなわち，その面積が1というルールがあります．
ですから，（テトリスのピースのように15～20の部分を10～15の上に積めば）
底辺15の長方形ですので，高さは1/15になります．

大学生的には，高さをqなどと表わし積分をし，それを1と置いてqを解いて下さい．

解
－∞＜x≦0のとき，p（x）＝0
0＜x≦10のとき，p（x）＝1/15
10＜x≦15のとき，p（x）＝1/20
15＜x≦20のとき，p（x）＝1/60
20＜x≦∞のとき，p（x）＝0

(b)10以上となる確率を求めよ

待ち時間10分以上の面積は全体の1/3ですから，1/3．

(c)期待値を求めよ．

中高生的には，ヒストグラムを用いて図解的に解きます．
（期待値）＝｛（ヒストグラムの中央値）×（その度数）｝／（全体の度数）

いま，確率密度のグラフを刻み幅5分のヒストグラムとみると，
（2.5×20＋7.5×20＋12.5×15＋17.5×5）／60＝7.91666

大学生的には，次の公式を使用しましょう．
（期待値）＝∫f(x)p(x)dx

∫（1/15）xdx＋∫（1/20）xdx＋∫（1/60）xdx
＝1/120・｛［4x^2］＋［3x^2］＋［x^2］｝
＝・・・・

積分区間は最初の項は0～10，第2項は10～15，第3項は15～20です．
上と同じ値になりますので，計算は自分でやってみて下さい．

回答No.5

grothendieck

確率密度関数とは、「連続な確率変数 t が区間[a,b]に含まれる値をとる確率が
　P[a,b] = ∫(a～b) f(t)dt
で与えられるような関数f(t)のこと」
tがｘの関数のとき、ｘの密度関数 g(x)は
　g(x) = ｜f(t(x)) (dt/dx)｜
で与えられる。
人が5分と１５分の間に来るとき、来る時刻の密度関数は一様分布なので
　f(t)=0 (t<5またはt>15 のとき）
　f(t)=1/10 (5≦t≦15 のとき）
ｘ＝－ｔ＋15という関係式で待ち時間xの密度関数を求めると
　g(x)=0 (x<0またはx>10 のとき）
　g(x)=1/10 (0≦x≦10 のとき）

回答No.4

grothendieck

集合U1,U2...が排反事象で ∪Ui=全空間 のとき任意の事象Aについて

　A =(∪Ui)∩A = ∑(Ui∩A)　（∑は互いに素な和）

よってAの確率は
　P(A) = ∑P(Ui∩A)
事象Uiの下でAが起こる条件付確率をP(A｜Ui) とすると
　P(A) = ∑P(Ui) P(A｜Ui)
事象U1,U2...には人が5分と１５分の間に来る事象、15分と３５分の間に来る事象...などを割り当てる

回答No.3

B-juggler

はい補足感謝　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

＃１　です。

そうしたら、「自分で解いてみたところをあげてみてください」ｍ（＿　＿）ｍ

そのほうが違うところか、間違っているのか、勘違いか、こちらも分かりやすく説明できますから♪

＃２さんが書かれていますように、「変数」ではなくて「関数」でしょうね。

それと、Ｘ分　となっていますから、分単位で６０分の中での場合分けということになりますね。

気をつけるところは、５２分に来ちゃった人の事を間違えないように行くことでしょうかね？？

＃２さんがほとんど書いてくださっているので、

ご自分で比べてみて、理解されればそれでダイジョウブだし

どうも良く分からないな？とか、（ｂ）や（ｃ）で引っかかってるとか、

そういうことでしたら、また教えてください。

自力で登ってくる人を突き放しはしませんから＾＾

丸投げは突き放すけれどね・・・＞＜

きついこと書いてすみませんでした　(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

遅くなりました。
自分でできたところは、

毎時のｔ分にバス停に到着したとすると。
５＜ｔ≦１５　は１０分間なので、待ち時間ｘは、ｘ＝１０～０　⇒　ｘ＝－ｔ＋１５

１５＜ｔ≦３５　は２０分間なので、待ち時間ｘは、ｘ＝２０～０　⇒　ｘ＝－ｔ＋３５

３５＜ｔ≦５０　は１５分間なので、待ち時間ｘは、ｘ＝１５～０　⇒　ｘ＝－ｔ＋５０

－１０＜ｔ≦５　は１５分間なので、待ち時間ｘは、ｘ＝１５～０　⇒　ｘ＝－ｔ＋５
　　ただし、－１０では不便なので２つに分けて、
　　５０＜ｔ＜６０　ｘ＝－ｔ－５５
　　０≦ｔ≦５　ｘ＝－ｔ＋５

以上のことから、確率密度関数は、
０≦ｔ≦５　では　ｘ＝－ｔ＋５
５＜ｔ≦１５　では　ｘ＝－ｔ＋１５
１５＜ｔ≦３５　では　ｘ＝－ｔ＋３５
３５＜ｔ≦５０　では　ｘ＝－ｔ＋５０
５０＜ｔ＜６０　では　ｘ＝－ｔ－５５
となりました。
＃２さんの回答と全くずれてしまいました。。

ここからどうやって１０以上になる確率と期待値を求めればいいかわかりません。

回答No.2

grothendieck

辞任した某大臣ではないですが、私も「突き放して行く」と言いたい所ですが...
「確率密度変数」という言葉は聞いたことがありません。おそらく「確率密度関数」のことかと。
人が5分と１５分の間にきた場合、待ち時間は0～10分の一様分布なので密度関数をf1(x)とすると
　f1(x)=0 (x<0またはx>10 のとき）
　f1(x)=1/10 (0≦x≦10 のとき）

人が5分と１５分の間に来る確率は　(15-5)/60 = 1/6
１５分と３５分の間に来る確率は　(35-15)/60 = 1/3
３５分と５０分の間に来る確率は　(50-35)/60 = 1/4
５0分と５分の間に来る確率は　(65-50)/60 = 1/4
なのでそれぞれの区間の密度関数をf1, f2 等とすると全体の密度関数は

　f(x) = (1/6)f1(x)+(1/3)f2(x)+(1/4)f3(x)+(1/4)f4(x)

回答No.1

B-juggler

質問に質問で答えてすまないとは思うのですが

「あなたは何のために大学に行っているのですか？」

少なくとも分かるところ、ここがこう分からない、そういう書き方をしてください。

そうしないとこちらも何から書いていいのかわかりません。

まさか最初から説明しないといけませんか？

まずは自分で考えてください。人に頼るのはそれからです。

　代数学・非常勤講師（療養中）より。

最近この手の丸投げが多い＞＜

ｍ（＿　＿）ｍ

補足

ご指摘ありがとうございます。

まず自分で勉強して、何度も解いてみました。
それでもわかりませんでした。
解き方が最初から間違っているかもしれないので、回答者様の答えと照らし合わせて、
もう１度考えてみようと思って投稿しました。