続・水平線は丸い？

質問

前回、質問して、多数派が「丸い」ということでした。
締め切ってから考えたのですが、水平線までの距離、約４ｋｍに対して、目の高さ１ｍいくら、というのは、ほとんど真横といえます。

たとえば、円形のプールに飛び込んで、水面に顔を出した時、プールの縁はほとんど真横にあるので、たぶん、縁は直線に見えます。縁は頭のまわりを一周してうしろまでいきますが、高さが同じなら、直線に違いないでしょう。（縁が高ければ外のほうが高くなる曲線）

では、水平線が丸く見える展望台、というのは、どれぐらいの高さなのでしょうか。（私自身、水平線がみえるようなところで育ってないもので・・）

前回の回答では、平地や船の上でも丸く見える、という方がおられましたが、これは錯覚でしょうか。

魚眼レンズや広角で、周囲が歪んでうつりますが、真正面に水平線がくるように構えた場合、直径が水平線になりますが、どう、歪んでいるでしょう。

回答No.7

ametsuchi

３度目の登場です。ヒツコクてすいません。一寸整理しましょう。

先ず、全員異論のなさそうなところから...。

１）地球を非常に半径の大きな球と仮定します。（ホントは回転楕円体）

２）観測者はこの球の表面近くにいます。場合により、球の中心から遠ざかる
ことが出来ます。（「高度が上がる」とも言える）

３）観測者から見える水平線は先程「輪郭線」という言葉を使いましたが、
平たく言えば、地上の点を頂点とし、「球に接する円錐」を考えるた時の接点を
周方向に繋いだ線です。これは、３Dの円になります。

４）観測点が地表面に近い時、「円」の中心と観測点ははぼ一致する。
換言するなら、「円錐」というより「円板」になるわけです。

５）この「円錐」は観測点が「高く」なるに従って細く尖り、「輪郭線」も
変わっていきます。これも勿論「３Dの円」。

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ですから、問題は、

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■A.この「３D円」、即ち、円錐の底辺と側面との間の稜線が、観測者（＝円錐の
頂点）からどう見えるか？

■B,どのくらい観測点が上に上がったら、水平線が丸まって見えるか？
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ということになります。まず、A.はいいでしょう？

私は、単なる射影幾何の問題であり、普通のカメラと同じ「射影規則」を適用する
のが最善と確信するので、そうしてみます。

イ）観測点が地表に近い（＝最大数1000m）時、
・カメラをどの方向に向けようと、上記「３D円」は、ほぼ直線に写ります。

ロ）観測点が地表から遠く離れた場合、
・カメラをどの方向に向けようと、画角内にこの「３D円」が入る限り、円（弧）
に写ります。月から見た地球、あるいは宇宙船から見た地球です。

ハ）、イ）ロ）で言い尽くされているはずですが、非常に極端な例を考えます。ある
意味で自説に反するかに見える例です。

非常に画角の広い超広角レンズを仮想的に考える。たとえば、画角179.9999度。
このレンズを数100m上空のヘリコプタから吊るし、真下に向けて写真を撮る。
するとどう写るか？勿論「円」です。しかし、カメラを一寸傾けるだけで、
水平線はほぼ直線に写ります。

ニ）人間の視角でまともに見えているのは事実上せいぜい150度くらいでしょうし、
経験的に自然に見える画角は60度～70度くらいです。ですから、数100～数1000m
上空から真下にカメラを向けても海しか写らないことになります。水平線は写り
ません。これを写すにはカメラを傾けなくちゃいけません。すると、水平線が
入る限りではほぼ直線になります。

ホ）しかも、今回の題意から考えて、カメラは水平付近を向いていると考えるのが
自然です。その場合、仮に画角179.9999度の超広角レンズで撮影しても、カメラが
地表近くにある場合、水平線は直線にしか写りません。

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では、nozomi50さんの問に戻って、B、を考えましょう。地球半径に比べたら
ヒマラヤの高嶺も、マリアナ海溝も表面のザラツキに過ぎません。ですから、
先程、数1000m云々と言ったように、海にエベレスト（＝チョモランマ）と同じ
高さに展望台を立てて記念撮影しても、水平線は直線にしか写りません。