数学の問題です。

質問

n>9のとき不等式2^n>10n^2が成り立つことを証明せよ。
解答よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

nはn>9の整数ですか？

そうなら
数学的帰納法で証明すればよい。
(1)n=10の時
　左辺=2^n=2^10=1024
右辺=10n^2=10x100=1000
∴左辺>右辺
(2)n=k(k≧10)の時
　2^k>10k^2 …(A)が成立すると仮定すると

2^(k+1)-10(k+1)^2 = 2x2^k-10(k+1)^2
> 2x10k^2-10(k+1)^2 (∵(A)より)
= 10k^2-20k-10
= 10(k-10)^2+100(k-10)+80(k-10)+790 > 0 (∵k≧10)
∴2^(k+1) > 10(k+1)^2
n=k+1でも不等式が成立する。

(A),(B)より数学的帰納法により与えられた不等式がn≧10(つまりn>9)の任意の整数nに対して成立することが証明された。

お礼

解決しました。

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

?
例えば n = 9.01 では成り立ちませんよ. 気のせいでは?