数学Ⅱについて

質問

(1)7^6と7^7を求め、不等式10^(5/6)＜7＜10(6/7)が成り立つことを証明せよ。
((1)は証明できましたが以下の問題に必要だと思うので付しました)

(2)7^(42)の桁数を求めよ。
※問題文には対数の値が書かれていないのでどうやって桁数を出せばいいのか分かりません。

(3)nを自然数とする。nと7nの桁数が等しいとき、nの最高位の数字についてどのようなことがいえるか。

(4)7、7^2、7^3、……、7^(42)のうち、最高位の数字が1のものは、少なくとも6個あることを証明せよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra

(2)log7 (対数は常用対数とする)が出ていれば7^42の桁数は求められるということですね。
(1)で証明した関係式の常用対数を取ってみましょう。
log10=1ですから、log7の範囲が求められるはずです。

(3)九九の7の段を考えてみればよいでしょう。
桁数が1桁のままのものはいくつありますか?

(4)7→7^42の間に7を41回かけてあります。
その間、桁数は何桁増えているでしょうか。
7を一回かける毎に桁数は1桁増えるかもしくは変わらないかの二通りしかないはずです。このことから7をかけても桁が変わらない回数がわかります。