累乗数の桁数と極限

質問

解答の指針などを教えていただければうれしいです...

k を自然数として, 9^k (9のk乗) の桁数と, 次数が一個下がった 9^(k-1) (9のk-1乗) の桁数が同じか,
もしくは 9^k の桁数が 1 大きいことを示すものです. この後, 9^k と 9^(k-1) の桁数が同じになる 2≦k≦n (nも自然数)
での k の個数を a(n) とおいて, 9^n の桁数を n と a(n) で表し, a(n)/n を n→∞ 飛ばすという極限の問題でした.

自分は常用対数を使って桁数を考えようとしましたが, 失敗してしまいました.
桁数を a(n) とおいて, 同じような極限をはさみうちの定理によって解く問題は解いたことがあるのですが...
ちゃんと理解できていないんだろうな(：；)

どうかよろしくおねがいします.

回答No.2

age_momo

>k を自然数として, 9^k (9のk乗) の桁数と, 次数が一個下がった 9^(k-1)
> (9のk-1乗) の桁数が同じか,もしくは 9^k の桁数が 1 大きいことを示すものです.

問題がこうなのですか？桁数が変わらない数と1上がる数の比率を求めるのでは
ないですか？そして最終的にはnで割った後、極限に飛ばしているのではないですか？

>桁数を a(n) とおいて

桁数をa(n)とおいたのですか？

a(n)を桁数が変わらないkの数とおきます。
とすると桁数が変わったのは(n-1-a(n))回となります。
とすると9^nの桁数は桁数が変わった(n-1-a(n))になりますから

n-1-a(n) ≦ nlog9　<　n-a(n)　　（ただし、logは常用対数）

自然数nで割って変形すると

1-log(9)-1/n ≦ a(n)/n < 1 - log(9)

はさみうちから

a(n)/n は1- log(9)になります。

お礼

問題は, このような問題であったと思いますが, 少し趣向を変えた問題も存在するようですね.

> 桁数をa(n)とおいたのですか？
桁数をa(n)とおきました.

本当にありがとうございました.
疑問が氷解してスッキリしました.

回答No.1

pyon1956

常用対数でできませんか？
（以下logの底は10で固定）
log9^k=klog9
log9^(k+1)=(k+1)log9だから、
log9^(k+1)-log9^k=log9
1<9<10だから、
0<log9<1
ゆえに9^kのけた数をnとすると、
n-1≦log9^k<nより、n-1<log9^(k+1)=log9^k+log9<n+1
よって10^(n-1)<log9^(n+1)<10^(n+1)
10^(n-1)はn桁の最小の数。10^(n+1)は(n-2)桁の最小の数だから、その間（両端を含まない）ということはn桁または(n+1)桁。

お礼

丁寧な解答をつけていただいてありがとうございます.
対数と桁について, 理解できていなかったようです.
全く, 自分の浅学さに呆れ返っています.
重ね重ね, どうもありがとうございました.