不等式について

質問

不等式 2^n<n^2を満たす自然数がただひとつであることを証明せよ。
この問題の解答を宜しくお願いします。

回答No.3

taknt · ベストアンサー

失礼。
私の勘違いでした。
２の時で ＝なので、３で ＜となるですね。

お礼

わざわざありがとうございました。
数列のほうもお願いできますか？
宜しくお願いします。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=438732

回答No.2

eatern27

n=1のとき、
左辺=2^1=2,右辺=1^2=1
よって、2＾1<1＾2を満たさない。

n=2のとき、
左辺=2^2=4,右辺=2^2=4
よって、2＾2<2＾2を満たさない。

n=3のとき、
左辺=2^3=8,右辺=3^2=9
よって、2＾3<3＾2を満たす。

n=4のとき、
左辺=2^4=16,右辺=4^2=16

n=kのとき、(kは4以上の自然数)
2^k≧k^2が成り立つと仮定すると
両辺に2をかけて
2^(k+1)≧2*k^2・・・(1)
2*k^2-(k+1)^2=k^2-2k-1=(k-1)^2-2
kは4以上の自然数より(k-1)^2-2＞0
よって、2*k^2＞(k+1)^2・・・(2)
(1)、(2)より
2^(k+1)＞(k+1)^2

以上より、4以上の自然数nに対して2^n≧n^2が成り立つ。

∴不等式 2^n<n^2を満たす自然数は3のみである。

こんな感じでどう？

お礼

凄い！
証明されています！
ありがとうございます！
本当に助かりました！

回答No.1

taknt

ｎは １だけでしょう。
２以上は、該当しないからが 理由だけど・・・。
って 証明になってませんね。

補足

答えは「3」になるはずなのですが・・・。
（私が計算した結果）
しかし、
2^1<1^2ってありえなくないですか？
とりあえず、
2^3<3^2=8<9
これを証明したいのですが・・・。