不等式の証明（テイラー展開）

質問

次の不等式を証明する問題が、矛盾しているように思えます。
どうやったら解けるのでしょうか？
どなたか、解説と解答をお願いします。

【次の不等式を証明しなさい】
e^x > 1 + x/1! + x^2/2! + ……　+ x^n/n!

テイラー展開では、等しくなるはずだったと思うのですが、それだと不等式になることは矛盾ではないでしょうか。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

e^x のテイラー展開は

e^x=Σ(k=0,∞)(x^k/k!)

です。従って途中（有限のn項）で打ち切った

1 + x/1! + x^2/2! + ……　+ x^n/n!

より大きくなります。

しかし実用上はどこかで打ち切って使います。

従って目的に合わせて、差異が十分小さくなる項までとる必要があります。

補足

なるほど、不等式が成り立つことがわかりました。
ありがとうございます。
しかし、証明はできていない気がします。
言葉で説明して、自分は納得できるのですが、数学的にスマートな証明がある人にベストアンサーとしたいと思います！！

回答No.3

Tacosan

等号にしろ不等号にしろ, 無制限には成り立たないんじゃない?

回答No.1

asuncion

＞テイラー展開では、等しくなるはず

e^x
は何回微分しても
e^x
なので、右辺は限りなく左辺に近づくと思いますが、
左辺と「等しくはならない」ような気がします。