微分積分（関数の展開）について

質問

以下の問題の解き方を教えて下さい。
１．任意のxについて、以下の等式が成り立つことを証明せよ。(lim (n → ∞) Rnを示す)
sin x = x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - ... + ((-1)^n )*(1/(2n + 1))*(x^(2n+1))+ ...
２．f(x) = e^x を　(1)x = 1においてテイラー展開せよ。(2)収束半径は∞であることを証明せよ。
テイラー展開はできたのですが、(2)の証明の仕方が分かりません。
Rn = (e^(1+θ(x - 1)) / n !) * (x-1)^n　をどのように使って証明するのかが分かりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

1.
sin x をマクローリン展開すれば、その式になります。
sin x の x=0 での n 階微分係数を計算すれば示せます。
任意の x に対して、等式が成り立つことを言うためには、
このマクローリン展開が収束半径 ∞ であることを示しておく
必要があります。ダランベールの判定法を使えば十分でしょう。

2.
上記と同様。

お礼

解くことができました。ありがとうございます。