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3体問題でのカオスとなるきの軌道

  • 質問No.4467760
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お礼率 62% (123/197)

この場合の軌道のx成分x=f(t)は、t=0でテーラ展開可能でしょうか?
(もちろん適切に座標をとるとしてです)
最初、Lim[Δx→0] でも軌道は収束しない=微分できない とはやとちりしてましたが、
「時間が経つと全く異なる軌道に、、、」ということなので、Lim[Δt→0]なら、Δf/Δtは収束し、高次微分も収束すると思います。
したがって、テーラ展開可能のように思えますが、
テーラ展開の一意性から、テーラ展開できるとすると、カオスにならない
と思います。
どう考えればよいでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
  • ベストアンサー

ベストアンサー率 47% (489/1029)

>3体問題の場合、可積分でないなら、カオスになる

確かに一般3体問題は、複雑で、カオス的な軌道を描きますが、必ずしもカオスになると断定することはできません。カオスとは何かということにもよりますが、まずは、決定論的な方程式における、初期値への鋭敏な依存性(リアプノフ指数が正であること)が認められるということでしょうか。
それから、この場合の「可積分」というのは力学系で用いられ、保存量と自由度の関係から定義される用語です。3体問題は、「エネルギー積分」等の保存量が不足し、解析的に解くことができませんから、「非可積分系」になります。
可積分とテーラ展開はあまり関係ありません。3体問題のような非可積分でも、摂動法では、2次か3次の近似ですが、テーラ展開を使っていますよね。次数を高めればさらに近似の精度を高めることができますが、計算は大変です。
補足コメント
morimot703

お礼率 62% (123/197)

>>3体問題の場合、可積分でないなら、カオスになる
とは、言い切れないということですね。よくわかりました。
>摂動法では、、、、次数を高めればさらに近似の精度を高めることができます
というのが疑問なのです。
カオスでは、十分大きなtでのf(t)は、初期値x0+ΔxのΔxに依存というわけで、
初期値を少し変えてもf(t)のt0でのテーラ展開が、十分大きなtにおいて、
1つの関数に収束するのではカオスとはいわない でしょう?
で、
t=0でのテーラ展開=マクローリン展開の、各項の係数は
「t=0」での(d^nx/dt^n)/n! で、tがどんなに大きくなっても変わりません。
したがって、未来永劫、「Δt→0で計算したx0+Δx→x0の解」で計算されますが、
t=0で正則なら、Δt→0の時、x0+Δx→x0ですから、Δxに依存しません。
ということは、カオスであっても、
t=0でのテーラ展開は「tが十分大きいとΔxに依存する」ことを表してないです。
これがおかしいと思うのです。
逆にいえば、
カオスの場合の軌道f(t)は、t=0でのテーラ展開が
「tが十分大きいと意味を持たない」という変な関数である
ということで、よいでしょうか?
投稿日時:2008/11/11 06:45

その他の回答 (全6件)

  • 回答No.7

ベストアンサー率 23% (3656/15482)

それこそ三体問題における「ラグランジュ解」って, 解析的に書けてるんじゃなかったっけ....
お礼コメント
morimot703

お礼率 62% (123/197)

ありがとうございました。
そもそも、
カオス=解析的な関数でない とは、一概に言えないですね。
ある方から、僕のブログに、コメを頂きました。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/58929175.html
投稿日時:2008/11/18 07:18
  • 回答No.6

ベストアンサー率 23% (3656/15482)

えぇと... なんだろう, 「微分方程式って、一般解を求めてから初期値を与える でしょ」という意識から既に間違ってる感じがする. 一般解を求めるのは, せいぜい「それが求まってると境界条件を満たす解が簡単にわかる」くらいの意味しかなくって, 本当は一般解を求める必要なんかありません. もっというと, 一般解を解析的に求めることができないわけで (特殊な場合として可積分のときには求まる, だっけ?), そうだとすればますます「一般解を求めてから初期値を与える」というのはおかしいです.
補足コメント
morimot703

お礼率 62% (123/197)

ありがとうございます。
で、話は変わりますが、
一般解を解析的に求めることができない場合でも、
解析的な(正則な関数の)解がある こともあるのでしょうか?
尚、
>一般解を解析的に求める、、、可積分のときには求まる。
以下は、僕のブログに、ある方がされたコメントです。

微分方程式が「可積分」とは、「保存量(これを積分と言う)が、一般解が構成できるほど充分沢山、存在する」の意味です。
保存量があると解空間が保存量でクラス分けできますから、完全にクラス分けできるくらいあれば、それを未知係数として一般解になります。
保存量が不足するとクラス分けができず、解空間はごちゃまぜで、一般解はありえません。
投稿日時:2008/11/15 15:09
お礼コメント
morimot703

お礼率 62% (123/197)

ありがとうございました。
そもそも、
カオス=解析的な関数でない とは、一概に言えないのですね。
投稿日時:2008/11/18 07:13
  • 回答No.5

ベストアンサー率 23% (3656/15482)

「Δxは、微分のパラメータですが、初期値の一部(初期値はx0+Δx)にもなっている」って....
ここでいう「微分のパラメータ」って何?
補足コメント
morimot703

お礼率 62% (123/197)

すいません。dx/dt ですから、「微分のパラメータ」は、t ですね。

通常は、微分と初期値 は独立だと思いましたのでこう書きました。
(微分方程式って、一般解を求めてから初期値を与える でしょ)
当然、通常の場合、
「Lim[Δt→0]Δx/Δt のΔxは、十分小さく、初期値の一部(初期値はx0+Δx)にもなっているとみなす必要は、ない」
です。
しかし、初期値依存カオスの場合、初期値に鋭敏ということですから、
「Lim[Δt→0]Δx/Δt のΔxは、初期値の一部にもなっている」とみなすべき
では、ありませんか?
投稿日時:2008/11/12 16:13
  • 回答No.4

ベストアンサー率 23% (3656/15482)

3体問題は決定論的なので, 「初期値を無限精度で与えれば」解は一意です.
といっておくけど.... 正直なところ, #2 に対する補足を読んで「どこまで混乱してるんだろう」と思った.
「t=0でのテーラ展開=マクローリン展開の、各項の係数は『t=0』での(d^nx/dt^n)/n! で、tがどんなに大きくなっても変わりません。」
はいいんだけど, そのあとの
「したがって、未来永劫、『Δt→0で計算したx0+Δx→x0の解』で計算されますが」
は明確に間違っていると思います. 初期値を変えてどうするつもりなんですか?
微分方程式の解は初期値に依存する x=x(t) = x(t, x0) であり, これを t のべき級数に展開したときの t^n の係数は (初期値 x0 を固定した)
(∂^nx/∂t^n)/n!
で計算されなければならないのではないでしょうか?
カオスでない場合 (なんていうんだろう) で確認してみてください.
補足コメント
morimot703

お礼率 62% (123/197)

あっ、すいません。『Δt→0で計算したx0+Δx→x0での解』というのは、
> (∂^nx/∂t^n)/n! で計算されなければならない
同じ意味のつもりなのですが、、、
というのは、(∂^nx/∂t^n)を微分の定義に戻って書くと、一次微分は、
Lim[Δt→0] {(x0+Δx)-(x0)}/Δt
高次微分も同様、微分可能なら LimΔt→0において
x0+Δx→x0  x0'+Δx→x0'  x0''+Δx→x0''  、、、
と言え、これから(∂^nx/∂t^n)が出てきます。
で、「それらに1/n! をかけたもの和」で計算される
というつもりです。
要は、Δxは、微分のパラメータですが、初期値の一部(初期値はx0+Δx)
にもなっている と考えているのですが、、、
誤りでしょうか?
投稿日時:2008/11/11 12:40
  • 回答No.3

ベストアンサー率 47% (489/1029)

No2です。
「摂動法では、、、、次数を高めればさらに近似の精度を高めることができる」というのはtの小さい範囲でのみいえることです。摂動法はあくまでも近似解法ですので、無理して近似の精度を高めてもあまり意味はありません。それから、「テーラー展開」という言葉を多用していますが、摂動法では、摂動のべき級数展開といった方が正確ですね。
3体問題の摂動では厳密には、摂動の係数εは時間の関数ですから、tの大きい範囲まで計算するには、εの値をそのつど変更する必要があります。だから、非可積分系は解析的に解けないというのです。

ご参考までに。
  • 回答No.1

ベストアンサー率 23% (3656/15482)

なんとなく「カオス」について混乱しているような気がします.
カオス的な力学系は初期値に関して鋭敏な依存性を示しますが, これは「x = x(t) がテーラー展開できない」ことを意味するものではありません. 実際にはテーラー展開可能 (少なくともべき級数展開は可能) です.
で, 「テーラー展開できるとするとカオスにならない」というのは, おそらく「初期値を厳密に決めればカオスにならない」と言っているのと同じことでしょう.
(カオス的でない力学系でも同じですが) テーラー展開した各項の係数は初期値に依存します. その依存度によって「初期値に関する鋭敏な依存性」や「短期の予測可能性と長期の予測不可能性」といったカオスの特徴が出てくるんじゃないでしょうか.
補足コメント
morimot703

お礼率 62% (123/197)

僕は、「初期値を、どんなに厳密に決めても、3体問題の場合、
可積分でないなら、カオスになる」と思っています。
で、t=0でのテーラ展開=マクローリン展開は、
Lim[Δt→0]Σ{n次の(Δx/Δt)}(t^n)/n!
ですから、
>各項の係数は
「t=0」での(d^nx/dt^n)/n! で、tがどんなに大きくなっても変わりません。したがって、未来永劫、一意な値が計算できることになる
ような気がして矛盾を感じるわけです。
ひょっとして、収束半径が「限りなく0に近い」と考えればいいですか?
投稿日時:2008/11/10 21:10
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