- ベストアンサー
不等式は負数で割ると向きが逆？
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
公理主義の実数の公理の中には 実数ａ，ｂ，ｃについて （１）ａ＜ｂかつｂ＜ｃならばａ＜ｃ （２）ａ＜ｂならばａ＋ｃ＜ｂ＋ｃ （３）０＜ｃかつａ＜ｂならばａ・ｃ＜ｂ・ｃ があります。 勿論実数の公理の中には四則演算の公理もあるのでそれを組み合わせればいいでしょう。 連続の公理は必要ありません。
その他の回答 (1)
- yuusukekyouju
- ベストアンサー率22% (21/94)
不等式の両辺に同じ数を加減してもその不等式は成り立つということから証明できるのではないですか。 A>Bの時両辺からA+Bをひくと A-(A+B)＞B-(A+B) -B>-Aつまり-A<-B
お礼
有難うございます
関連するQ&A
- 絶対値を含む不等式の証明
お世話様です。 不等式の証明は平方完成して解いてきましたが、絶対値を含む不等式も それで解けるそうなのですが、なにをしていいのかまったくわかりません。 例題として|a+b|>=|a|+|b| これの答えはあります。 どんなことをすれば、この絶対値を含む不等式が証明されるかできるだけ わかりやすく教えて頂ければ幸いです。 納得次第、締め切ります。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明
n を2 以上の自然数とするとき、次の不等式を証明せよ。 ( 1 / 1^2 ) + ( 1 / 2^2 ) + ( 1 / 3^2 ) + ・・・・ + ( 1 / n^2 ) ＜ 2 - ( 1 / n ) ( I ) n = 2 のとき （ 左辺 ） = ( 1 / 1^2 ) + ( 1 / 2^2 ) = 1 + ( 1 / 4 ) = 5 / 4 ( 右辺 ) = 2 - ( 1 / 2 ) = 3 / 2 = 6 / 4 ∴ （ 左辺 ) ＜ ( 右辺 ) ( II ) n = k ( k ≧ 2 ) のとき成立を仮定 ( 1 / 1^2 ) + ( 1 / 2^2 ) + ・・・・ + ( 1 / k^2 ) ＜ 2 - ( 1 / k ) 両辺に 1 / ( k + 1 )^2 を加えて ( 1 / 1^2 ) + ( 1 / 2^2 ) + ・・・・ + ( 1 / k^2 )+ { 1 / ( k + 1 )^2 } ＜ 2 - ( 1 / k ) + 1 / ( k + 1 )^2 この後どうやって証明するかわかりません。教えてください、お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連立不等式の問題について。
数1の連立不等式についてです。 解を持つための条件はという回答がありますが、どこからa-3<6という式が出るんでしょうか。。 共通範囲を求めることで不等式の解がもとまるのはわかるのですが、、 解を持つ条件？というのはどのように解くのかがよくわからないです。。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式
シュワルツの不等式を学校で扱ったとき、次の不等式が n = 1, 2, 3 のときには成り立つことに偶然気付きました。 n = 2 のときはシュワルツの不等式です。 ―――――――――――――――――――――――――― n を自然数とし、 ai, bi ≧ 0 (1 ≦ i ≦ n) のとき、 (a1^n + a2^n + ... + an^n)(b1^n + b2^n + ... + bn^n) ≧ (a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)^n が成立する。 ―――――――――――――――――――――――――― そこで、この不等式が成立するか、成立するなら、 どのように証明できるかを教えてください。 名前が付いていれば、教えてくれると嬉しいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角不等式を使った絶対値の不等式の証明
ｘ、ｙともに実数のとき、｜ｘ｜－｜ｙ｜≦｜ｘ＋ｙ｜ この不等式を三角不等式を使い証明しろという問題があるんですが、やり方がいまいちよくわかりません。どなたか分かりやすく説明してくれる方いませんか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 不等式 ｙ≦-2ｘ＾2+5ｘ+3 を考える
受験用に演習問題を解いているのですが、(4)が答えを見ても納得できません。-が大きければ大きいほど、小さい数になると思ってたんですが・・・ 解説をどうかよろしくお願いします！！ （１）は解の公式で解きました。 （２）は0,1,2,3 の４個ですか？ でも、ｘ＝0のとき、ｙ＝0にならないんですが・・・ （３）は（２）の４つを不等式にいれて、一番ｙが大きい組み合わせを選びました。 （４）は条件の-2≦ｘ≦4の、（-2）と（4）を不等式に入れて、ｙを出しました。すると、（-9）と（-15）が出ました。最も大きいものなので、（-9）だと思いましたが、正解は（-15）でした。。。(>_<) でも、（３）で、ｘ＝1のときｙ＝6とでているので、最も大きいものは「6」じゃないのか？という疑問も・・・。 問題： 不等式 ｙ≦-2ｘ＾2+5ｘ+3 を考える。 （１）この不等式を満たす二つの整数の組（ｘ，ｙ）を考える。 ｙ＝0のとき、この不等式を満たす実数ｘの範囲は -1/2≦ｘ≦3 である。 （２）したがって、この不等式を満たす二つの整数の組（ｘ，ｙ）の中で、ｙ＝０のものは ４個ある。 （３）また、この不等式を満たす２つの整数の組（ｘ，ｙ）の中で、ｙが最も大きくなる組は （1，6） である。 （４）-2≦ｘ≦4を満たすすべての実数ｘに対してこの不等式が成り立つような実数ｙを考える。 このようなｙの中で最も大きいものは -15 である。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ヘルダーの不等式の証明について教えて下さい
教科書のヘルダーの不等式Σ|akbk|≦(Σ|ak|^p)^(1/p)+(Σ|bk|^q)^(1/q)を示す解説で(Σはk=1からnまで足してます)次のように書いてありました。 「この不等式が斉次、つまり2つのベクトル a=(a1,a2,・・・an),b=(b1,b2,・・・bn) によって満たされるなら、Aa,Ba(A,Bは任意の数)によっても満たされる。 よってこの不等式の証明はΣ|ak|^p=Σ|bk|^q=1の条件の時Σ|akbk|≦1を示せばよい」 としてこのΣ|akbk|≦1の証明が書いてありました。この式の証明は理解できたのですが、 不等式が斉次ならAaBaによっても満たされるので証明はΣ|ak|^p=Σ|bk|^q=1の時だけでよい、というのが分かりません。 図書館やネットで調べたのですが、Σ|ak|^p=Σ|bk|^q=1の時、Σ|ak|^p=α,Σ|bk|^q=βの時、のようにきちんと分けられていました。2つとも証明は理解できたのですが、教科書の「不等式が斉次ならAaBaによっても満たされるので」のような言葉で済ませてもいいのでしょうか？ ここらが良く分からないので分かる方、お願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不等式の証明と命題の真偽(基本的)
お世話になっております。 実数a、b、cに対して、 等式 |a|+|b|+|c|=|a+b+c|…P が成立つことは、ab+bc+ca≧0 …Q が成立つための○○条件である。(○の数は特に意味なし) という問題です。証明も合わせて(不等式を証明して、等号成立条件を調べてから命題を考えてみたかった為)以下のように考えてみました。 まず証明。 与えられた等式を考える前に、不等式 |a|+|b|+|c|≧|a+b+c|…(2)を証明する。 (2)の両辺は正または0であるから、両辺の二乗の差を考えて (|a|+|b|+|c|)^2-|a+b+c|^2 =2{|ab|+|bc|+|ca|-(ab+bc+ca)} =2{(|ab|-ab)+(|bc|-bc)+(|ca|-ca)}…(3) ここで、|ab|≧ab,|bc|≧bc,|ca|≧ca だから、(3)≧0。従って不等式(2)は成立つ。等号成立は、ab≧0,bc≧0,ca≧0…(4) より、ab+bc+ca≧0 の時に限る。 よって、等式Pが成立つとき、a,b,cはQを満たす。(ここが一番曖昧です) 逆にQが成立つとき、(4)が成立つから、積の場合分けで導かれる二つの場合で、 a≧0かつb≧0かつc≧0 のときは、Pは成立つ。 a≦0かつb≦0かつc≦0 のときはPは、 左辺=-a-b-c=-(a+b+c)=右辺 より成立つ。 以上より、○○は必要十分条件が適当と思す。 以上、拙いですが頭捻ってみました。当方が微妙だと感じるのは、不等式の証明についての説明部分(解答ではb+cを一括りにしてaと(b+c)の二変数と考えて、二変数については不等式が成立つことを利用して証明してました)と、既に書いた通り、条件Pが十分条件であることの説明部分(こちらは解答なし)です。 長ったらしい文で恐縮ですが、閲覧ついでにご回答いただけると嬉しいです。宜しくどーぞ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
有難うございます