数学です。

質問

教えてください。
長さが２の線分ＡＢを直径とする円がある。この円周上に動点Ｑがある。ＡＱの延長上の点ＰがＡＱ×ＡＰ＝８を満たすとき、点Ｐの軌跡を求めよ。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

反転を絡めた、複軌跡の問題。
内容は、相似だけの単純な問題なんだが、慣れてないと難しいかもしれない。

xy平面上で、Ａ(-1、0)、Ｂ(1、0)　とすると、円の方程式は　x＾2＋y＾2＝1.
Ｑ(cosθ、sinθ)、Ｐ(α、β)　(0＜θ＜2π)とすると、点Ｐ、Ｑからx軸に下した垂線の足を各々Ｄ、Ｃして、Ｄ(α、0)、Ｃ(cosθ、0)。
△ＡＣＱ　∽　△ＡＤＰ　より、(ＡＰ)/(ＡＱ)＝(ＡＤ)/(ＡＣ)＝(ＰＤ)/(ＱＣ)＝k ‥‥(1)　。
ＡＱ＾2＝(1＋cosθ)＾2＋(sinθ)＾2＝2(1＋cosθ)であるから、　ＡＱ×ＡＰ＝8　に代入すると、k(1＋cosθ)＝4
これを(1)に代入すると、ＡＣ＝1＋cosθ、ＡＤ＝α＋1、ＱＣ＝sinθ、ＰＤ＝β　より、α＝3　(βは任意)
よつて、求める軌跡は、ＡとＢの中点をＯとするとき、Ｏから3の距離で　直線ＡＢ(の延長)に垂直な直線、が求める答え。

(注)
座標は、勝手にとったものだから、“求める軌跡は　x＝3”　と言うように、座標で答えてはいけない。

お礼

ありがとうございました。よく分かりました。

回答No.3

Mr_Holland

いろいろな解法があると思いますが、極座標系で考えてみてはいかがでしょうか。

　点Aを原点として、点Bを極座標の始線上において、円の方程式（r=θの関数）を表してください。
　このrは線分AQの長さそのものですので、AQ×AP=8 から　APをθの関数で表せます。
　これで分かればOKですが、そうでなければ、極座標形式を直交座標系式　x=APcosθ、y=APsinθ　で変換してください。そうすると、どんな図形で、線分ABとどんな関係にあるか分かると思います。

　よろしければ参考にしてください。

お礼

回答をくださってありがとうございました。

回答No.2

spring135

円の中心を原点（0,0）にとりA(-1,0),B(1,0)に採ります。
角ＱＯＢ＝Θとすると
ＡＱの長さは2cos(Θ/2)
P(p,q)とすると
APcos(Θ/2)=p+1
よって
AP=(p+1)/cos(Θ/2)

AP・AQ=2(p+1)=8
故に
ｐ＝3

よって点Ｐの軌跡は
ｘ＝3

お礼

分かりやすい説明ありがとうございました。

回答No.1

noname#154783

A(0,0)，B(2,0)と置くと，
Q(1 + cos θ, sin θ) (0 ≦ θ< 2π)と表すことができ，
AQ・AP = 8 より（以下，ベクトルAQのことをAQ↑などと表す），
θ≠ πに対して

AP↑
= (8/AQ) AQ↑/AQ
= 8 AQ↑/AQ^2
= 4(1 + cos θ, sin θ)/(1 + cos θ)
= (4, 4sin θ/(1 + cos θ))
= (4, 4tan(θ/2)).

0 ≦ θ< π，π< θ < 2π において 4tan(θ/2) の値域は全実数である．

したがって，点Pの軌跡は直線 x = 4 である．

すなわち，求める軌跡は直線ABと垂直で，点Aより点Bの側にあって，点Aからの距離が4であるような直線である．

お礼

とても早く回答をくださってありがとうございました。