円と直線の問題が分からないので教えてください。

質問

半径の長さがｒの円の直径ABの延長上の１点Pを通るこの円の接線の接点がQで、線分PQの長さが√（３）ｒであるとき、線分AQ、BQの長さを求めてください。

ちなみに答えは、
BQ＝ｒ、AQ=√（3）ｒ
です。

回答No.2

haya3912 · ベストアンサー

線分ＯＲをひく。
∠ＯＱＰ＝９０度（半径と接線のつくる角）より△ＯＱＰは直角三角形。
ＯＲ＝ｒ（半径）、ＱＰ＝√３ｒより、三平方の定理より、ＯＰ＝２ｒとなる。
だから、ＯＱ：ＯＰ：ＱＰ＝１：２：√３の比になるので、∠ＱＯＢ＝６０°。
△ＱＯＢはＯＱ＝ＯＢ＝ｒ、∠ＱＯＢ＝６０度より、正三角形になる。
だから、ＢＱ＝ｒ。

∠ＱＢＯ＝６０°、∠ＡＱＢ＝９０度（半円の弧に対する円周角）より、△ＡＱＢもＱＢ：ＡＢ：ＡＱ＝１：２：√３の比になるので、ＡＱ＝ｒ×√３＝√３ｒ。

回答No.1

KEIS050162

△QOPは直角三角形なので、OP＝２ｒ。

△QABも直角三角形。（直径の円周角は直角）

あとは、△QOP≡△QABを導き出せば、答えはなんとでもなりますね。

合同条件も、色々と引っ張り出せそうですが、
例えば、３辺の比（１：２：√３）から、△QOPは、６０°、３０°の直角三角形であることが分かり、
∠QOBは６０°で、∠QPOは３０°

∠OABは∠QOBの半分（円周角定理）なので、これも同じ直角三角形。

底辺は双方とも２ｒで、二各峡辺が相当なので△QOP≡△QAB。

ご参考に。