• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

逆三角関数の問題です。

次の式を簡単にせよ。 arctan(1/2)+arctan(1/3) arcsinx+arccosx という問題で、解法には、それぞれtan(与式),sin(与式)とあり、 答えはπ/4,π/2となっているのですが、 どのようにこの答えが導き出されたのかが分かりません。 どなたか解説していただけないでしょうか。よろしくお願いします。

noname#180825

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数253
  • ありがとう数0

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.4
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

前半) arctan(1/2)=A, arctan(1/3)=Bとおくと arctan(1/2)+arctan(1/3)=A+B tanA=1/2,tanB=1/3なので 0<B<A<π/4 …(1) tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA tanB) ={(1/2)+(1/3)}/{1-(1/2)(1/3)}     =(3+2)/(6-1)     =5/5=1 (1)から 0<A+B<π/2なので ∴A+B=arctan(1/2)+arctan(1/3)=π/4 後半) arcsinx=A, arccosx=B…(2) とおくと arcsin,arccosの定義(域)から  -π/2≦A≦π/2 …(3), 0≦B≦π …(4) x=sinA,x=cosB sinA=cosB …(5) 三角関数の公式から cos(B)=sin(π/2-B)なので (5)は  sinA=sin(π/2-B) (3)から  -π/2≦A≦π/2 (4)から -π/2≦π/2-B≦π/2 また sin Xは -π/2≦X≦π/2 の範囲で単調増加の一価関数であるから  ∴A=π/2-B (2)を代入  A=π/2-B  arcsinx=π/2 -arccosx ∴arcsinx+arccosx=π/2

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 逆三角関数の値

    ちょっと式がややこしいですが、 sin(arccos√3/2)+cos(arctan((-1)/√3))+arcsin((-1)/√2) を計算すると、 sin(π/6)+cos(-π/6)-π/4 となり、 結果が 1/2+(-√3/2)-π/4 だと思ったのですが、 解答は、(√3-1)/2 となっていました。 どこが間違っているのでしょうか。

  • 逆三角関数の計算

    次の計算ができません。 tan(arctan15)= arcsin(cos9π/5)= 上の式では、15が1/√3のような値だとわかるのですが…。

  • 解析学/逆三角関数の証明・問題

    誰かわかる方、下の問題に答えてください!一つでも構いません。 1微分せずに証明 Arctan(x/√1-x^2)=Arcsinx (-1<x<1) Arctan(1/x)=(1)(π/2)-Arctanx (x>0) (2)-(π/2)-Arctanx (x<0) 2次の値を求める Arctan(3/4)+Arctan(1/7) tan(Arcsin(4/5)+Arccos(12/13)) 3多項式または分数式で表す cos(Arcsinx)sin(2Arcsinx) tan(3Arctanx)

その他の回答 (3)

  • 回答No.3
noname#133363

両方とも加法定理を使えばできると思います。 2つ目は加法定理を使わなくても、三角形を眺めていればできるかもしれません。 1だけ説明してみます。 1. 加法定理を使えばtan (与式)=1。 こうなる与式の値としては、π/4にπの整数倍を加えたもの全てふさわしいですね。 でもおそらくarc tanは主値を考えてる。 なので 0<与式≦π/2+π/2=π。 したがって与式=π/4。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
  • OurSQL
  • ベストアンサー率40% (53/131)

ごめんなさい。 arc の後にある括弧、取り除いてください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • OurSQL
  • ベストアンサー率40% (53/131)

p = arc(tan(1/2)), q = arc(tan(1/3)) とおけば、 tan p = 1/2, tan q = 1/3 あとは tan(p + q) = 1 を示すだけ。 θ = arc(sin x) とおけば、 x = sin θ = cos(π/2-θ) これより、arc(cos x) を θ を用いて表す。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 解析学/逆三角関数の微分

    わかる方、一つでもいいので教えてください! 次の式を微分 1) (1/2)[x√(9-x^2)+9Arcsin(x/3)] 2) Arcsin(x+1)/2 3) Arctan(x/√3) 4) Arctan√(x/3)

  • 逆関数の問題です。

    (1) x>0 とすると arctan 1/x + arctan x = π/2 を示せ。 (2) arccos x = sin 4/5 をみたすxをもとめよ。 という問題なのですが、解けませんでした。 どなたか解答とその導入過程を教えてください。 わたしの考えたことを少し載せます。間違っていたら申し訳ありません。 (1) acrtan 1/x =α, arctan x = βとすると、求めるものは α+β  arctan 1/x =α より tan α = 1/x (-π/2 <α< π/2) arctan x = β より tan β = x (-π/2 <α< π/2) よって tan(α+β)の定義域は -π<α+β<π …(ここからどうするのかがわかりません) (2) この問題も(1)と同様に arccos x = α, arcsin 4/5 = β として cosα、sinβの値は出せますが、どうすればよいのか訳がわかりません。 ※arcsin θ =sin^-1 θ

  • 【逆三角関数についての問題です】

    ・α = arctan1/5のとき,tan(4α-π/4)を求めよ ・-π/2 < 4α-π < π/2を示せ ・π/4 = 4arctan1/5 - arctan1/239を示せ 1問目は解けたんですが,2,3問目がいまいち分かりません…。 2問目は tan(-π/2) < tan(4α-π/4) < tan(π/2)ということでは説明不足ですか? 時間のある方,どれか1つでもいいので考え方やヒントを教えてください。 お願いします。

  • 逆三角関数の方程式

    Arcsinx+2Arcsin1/4=π/2 という問題なのですが、解いても解答と合いません。 自分なりに立てた途中式は Arcsinx=Arcsin1-2Arcsin1/4 α=Arcsin1、β=2Arcsin1/4とおくと sinα=1 2sinβ=1/4 sinβ=1/8 Arcsinx=α-β  x=sin(α-β) x=sinαcosβ-cosαsinβ =1×√63-0×1/8 =√63 ですが実際の解答は 7/8 です。 どこから間違えたのかわかりません・・。解き方をご教授お願いします。

  • 数学 逆三角関数

    sin(arccos√3/2)+cos(arctan-1/√3)+(arcsin-1/√2)の答えをお願いします。途中式も があると嬉しいです。ちなみに、解答は√3/2-1/2です

  • 三角関数の合成公式 がおかしい?

    -3sin(x) + 3cos(x) → (1) を合成公式であらわすと、 -3sin(x) + 3cos(x) = √((-3)^2 + 3^2) * sin (x+y) = 3√(2) * sin(x+y) ただし y = arctan(b/a), a=-3, b=3 つまり = 3√(2) * sin(x+arctan(3/-3)) = 3√(2) * sin(x-π/4) → (2) となるはずです。しかし、例えばxにπを入れて(1)と(2)を計算してみると、 (1)-3sin(π) + 3cos(π) = -3 (2)3√(2) * sin(π-π/4) = 3 となり、(1)と(2)の答えが同じになりません。どうしてでしょうか?

  • 逆三角関数について

    下の問題がわからないです。>< 範囲の指定外の答えがでてそこからどうやって範囲内の答えになったのかがわかりません。 公式を使うのならなぜその公式を使うのかとかわかりやすい解説をお願いします。 (1)Sin^-1(sin8π/7) (2)Cos^-1(cos8π/7) 答え (1)-π/7 (2)6π/7

  • 逆三角関数の微分

    ある問題集に arctan(x)+arctan(1/x)=π/2 (x>0) となることを証明せよ。 という問題がありました。 解答では arctan(x)=α,arctan(1/x)=β とおけば tanα=x,tanβ=1/x となるので、 tan(α+β)=… と加法定理を用いると、分母が0になる。よって α+β=π/2 となっていたのですが、どうも 「分母が0になるので」 というのが、証明として何となく腑に落ません。 そこで、左辺を微分すると0になることを示せば左辺は定数であり、例えば x=1 を代入すれば、その定数が π/2 になることを示せる! と思ったのですが、 arctan(1/x) がうまく微分できません。 計算の仕方を入力するのは大変だと思うので、方針だけでもいいので教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします。

  • 逆三角関数の導関数の問題が分かりません。

    次の逆三角関数の導関数を求めよ。 という問題ですが (1)arctan((1-x)/(1+x))^1/2 (2)arcsin(e^x/(e^x+e^-x)) 自分で計算すると、 (1)1/1+((1-x)/(1+x))*1/2(-2/(1+x)^2)^-1/2 =(1+x)/(1+x)+(1-x)*-(1+x)/2*2^-1/2 =-(1+x)^2/4*2^-1/2 (2)1/(1-(e^x/(e^x+e^-x))^2)^1/2*2e^x(e^-x)/((e^x+e^-x)^2) =2e^x(e^-x)/((e^x+e^-x)^2-e^2x)^1/2 正解答はそれぞれ、 (1)-1/2(1-x^2)^1/2 (2)2/(e^x+e^-x)(2+e^-2x)^1/2 となるようなのですが。 どなたか解き方を教えて下さい。

  • 逆三角関数の微分

    次の関数を微分せよ (1)y=(1/3)arctanx/3 (2)y=arcsin(cosx) という問題です。 (1)は arctanx=1/(x^2+1) を利用して y'=   1      1      ̄  *  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄  * (x/3)'      3    (x/3)^2+1 =   1   ̄ ̄ ̄ ̄ ̄    (x)^2+9 となって、答えが出たのですか、 (2)を同じ要領で解くと y'=     1     ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ * (-sinx)    √(1-cos^2x)  =  -sinx    ̄ ̄ ̄ ̄ ̄    √(sin^2x) で止まってしまいました。 略解によると 1(-π/2<x<0),-1(0<x<π/2)となって整数値をとるのですが、自分の回答ではそうなりそうもありません。 どなたか教えてください。