- ベストアンサー
逆三角関数の問題です。
次の式を簡単にせよ。 arctan(1/2)+arctan(1/3) arcsinx+arccosx という問題で、解法には、それぞれtan(与式),sin(与式)とあり、 答えはπ/4,π/2となっているのですが、 どのようにこの答えが導き出されたのかが分かりません。 どなたか解説していただけないでしょうか。よろしくお願いします。
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数0
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
前半) arctan(1/2)=A, arctan(1/3)=Bとおくと arctan(1/2)+arctan(1/3)=A+B tanA=1/2,tanB=1/3なので 0<B<A<π/4 …(1) tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA tanB) ={(1/2)+(1/3)}/{1-(1/2)(1/3)} =(3+2)/(6-1) =5/5=1 (1)から 0<A+B<π/2なので ∴A+B=arctan(1/2)+arctan(1/3)=π/4 後半) arcsinx=A, arccosx=B…(2) とおくと arcsin,arccosの定義(域)から -π/2≦A≦π/2 …(3), 0≦B≦π …(4) x=sinA,x=cosB sinA=cosB …(5) 三角関数の公式から cos(B)=sin(π/2-B)なので (5)は sinA=sin(π/2-B) (3)から -π/2≦A≦π/2 (4)から -π/2≦π/2-B≦π/2 また sin Xは -π/2≦X≦π/2 の範囲で単調増加の一価関数であるから ∴A=π/2-B (2)を代入 A=π/2-B arcsinx=π/2 -arccosx ∴arcsinx+arccosx=π/2
その他の回答 (3)
両方とも加法定理を使えばできると思います。 2つ目は加法定理を使わなくても、三角形を眺めていればできるかもしれません。 1だけ説明してみます。 1. 加法定理を使えばtan (与式)=1。 こうなる与式の値としては、π/4にπの整数倍を加えたもの全てふさわしいですね。 でもおそらくarc tanは主値を考えてる。 なので 0<与式≦π/2+π/2=π。 したがって与式=π/4。
- OurSQL
- ベストアンサー率40% (53/131)
ごめんなさい。 arc の後にある括弧、取り除いてください。
- OurSQL
- ベストアンサー率40% (53/131)
p = arc(tan(1/2)), q = arc(tan(1/3)) とおけば、 tan p = 1/2, tan q = 1/3 あとは tan(p + q) = 1 を示すだけ。 θ = arc(sin x) とおけば、 x = sin θ = cos(π/2-θ) これより、arc(cos x) を θ を用いて表す。
関連するQ&A
- 解析学/逆三角関数の証明・問題
誰かわかる方、下の問題に答えてください!一つでも構いません。 1微分せずに証明 Arctan(x/√1-x^2)=Arcsinx (-1<x<1) Arctan(1/x)=(1)(π/2)-Arctanx (x>0) (2)-(π/2)-Arctanx (x<0) 2次の値を求める Arctan(3/4)+Arctan(1/7) tan(Arcsin(4/5)+Arccos(12/13)) 3多項式または分数式で表す cos(Arcsinx)sin(2Arcsinx) tan(3Arctanx)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 逆三角関数の問題です!
arctan1/2+arctan1/3=π/4 を示す問題です。 大学一回生の微積概論の初歩的な知識で解くやり方でおねがいします__)m 可能なら、lim(X→0)arcsinX/X の極限値を求める問題も解説いただけたら幸いです・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 逆関数の問題です。
(1) x>0 とすると arctan 1/x + arctan x = π/2 を示せ。 (2) arccos x = sin 4/5 をみたすxをもとめよ。 という問題なのですが、解けませんでした。 どなたか解答とその導入過程を教えてください。 わたしの考えたことを少し載せます。間違っていたら申し訳ありません。 (1) acrtan 1/x =α, arctan x = βとすると、求めるものは α+β arctan 1/x =α より tan α = 1/x (-π/2 <α< π/2) arctan x = β より tan β = x (-π/2 <α< π/2) よって tan(α+β)の定義域は -π<α+β<π …(ここからどうするのかがわかりません) (2) この問題も(1)と同様に arccos x = α, arcsin 4/5 = β として cosα、sinβの値は出せますが、どうすればよいのか訳がわかりません。 ※arcsin θ =sin^-1 θ
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の問題を教えてください
(1):π/2<θ<π,sinθ=1/3のときcosθとtanθの値を求めよ。 (2):π<θ<2π,tanθ=-1/2のときsinθとcosθの値を求めよ。 解説等は結構ですので答のみ教えていただきたいです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題がわかりません【三角関数を含む等式】
数学の問題がわかりません【三角関数を含む等式】 問題は ・次の等式を証明せよ tan^2θ-sin^2θ=tan^2θsin^2θ というものです。 解法を教えてほしいです
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 逆三角関数の計算&証明問題
arccos(sin(-π/5)) arctan(1/(tan3π/5)) sin(arctanx)=x/√(1+x^2)の証明 の解き方がわかりません。どなたか教えてください。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数