数Ｉ 青チャート重要問題70より質問

質問

青チャートから問題です。

重要例題70
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関数f(x) (0≦x≦4)を以下のように定義したとき、「 y=f(f(x)) 」のグラフを書きなさぃ。

f(x)= 2x (0≦x＜2)
= 8-2x (2≦x≦4)
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☆解答☆
0≦x＜1 f(f(x)) =4x
1≦x≦2 f(f(x)) =8-4x
2＜x≦3 f(f(x)) =4x-8
3＜x≦4 f(f(x)) =16-4x
(グラフは省略)
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f(f(x))= 2x (0≦f(x)＜2)
= 8-2x (2≦f(x)≦4)

となるため、それぞれに
f(x)= 2x (0≦x＜2)
= 8-2x (2≦x≦4)
を代入し、正しい解・グラフを得ることが出来ました。

しかし、ひとつ気になるところがあります。
2＜x≦3 の符号です。

f(f(x))= (2≦f(x)≦4)に f(x)= 8-2x を代入した場合
2≦8-2x≦4となり、(2-8)/2≦-x≦(4-8)/2、結果として2≦x≦3となりました。

なぜ、解答は2≦x≦3ではなく2＜x≦3となるのでしょうか。僕の答えは誤りになるのでしょうか。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

＞関数の表現が2通りにならぬよう、変域の記号を≦から＜としたということですね!!
＞計算自体に間違いはないということであれば、
＞『こうした方がいいよ』というだけのものなのでしょうか？

そうですね。
先の回答でも書きましたが、
「関数」という点でいえば「一対一対応」の形に書いた方がよいということです。
もちろん、すべての関数が一対一対応というわけではないですが、
書けるならばそのようにした方がよいかと。

ただ、そうしなかったからといって実際の試験で、大きな減点にはならないとは思います。＾＾

お礼

本当にどうもありがとうございます。

数学は出来るだけスマートに、分かりやすく表記する事が基本だと思います。一対一対応というのも、その基本に従った表記なんでしょうね。

完全に独学で周りに聞ける人もいないため、解答の意味内容まで理解出来ないため、まだ臨機応変対応出来ませんが、今後研鑽を積み理解を深めていきたいと思います。

本当にご回答ありがとうございました＼(^o^)／つっかえが取れました!!

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

＞f(f(x))= (2≦f(x)≦4)に f(x)= 8-2x を代入した場合
＞2≦8-2x≦4となり、(2-8)/2≦-x≦(4-8)/2、結果として2≦x≦3となりました。
＞なぜ、解答は2≦x≦3ではなく2＜x≦3となるのでしょうか。僕の答えは誤りになるのでしょうか。
この計算自体は間違っていないと思います。
ただ、その形のままで最後の答えをよく眺めてみると
・1≦ x≦ 2のとき f(f(x))＝ 8-4x
・2≦ x≦ 3のとき f(f(x))＝ 4x-8

となってしまいます。
つまり、x＝ 2に対する関数の表現が 2とおりになっています。
このことを回避するために、2＜ x≦ 3のときとしているのだと。

x＝ 2のときは同じ「0」という値をとる（連続になる）のでグラフを描く上では問題にはなりませんが、
「関数」として書き下すときには、1とおりの表し方になるようにした方がいいと思います。

・1＜ x＜ 2のとき f(f(x))＝ 8-4x
・x＝ 2のとき f(f(x))＝ 0
・2＜ x＜ 3のとき f(f(x))＝ 4x-8
・・・
といった（境界は別に分ける）荒業もあるにはありますね。＾＾；

お礼

ご回答ありがとうございます!!

関数の表現が2通りにならぬよう、変域の記号を≦から＜としたということですね!!計算自体に間違いはないということであれば、『こうした方がいいよ』というだけのものなのでしょうか？

多忙につき、お礼が非常に遅れてしまい申し訳ありませんでした。