青チャートの判別式と解の関係について
- 『x^2-6x+k=0について、1つの解が他の解の2倍となるkを求めよ』という問題では、判別式を使わずに解を求めることができます。
- 『x^2-(a-10)x+a+14=0が異なる2つの正の解を持つようなaの範囲を求めよ』という問題では、判別式>0を確認して解と係数を用いる必要があります。
- これは、(2)の問題では解が実数である必要があるためです。一方、(1)の問題では虚数解でも解の比を考えることができるため、判別式は不要です。
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青チャートの
青チャートの (1)『x^2-6x+k=0について、1つの解が他の解の2倍となるkを求めよ』という問題で、判別式を使っていないのに (2)『x^2-(a-10)x+a+14=0が異なる2つの正の解を持つようなaの範囲を求めよ』 という問題では判別式>0を確認したのち解と係数を用いているのは、 (2)は解が実数である必要があるのに対して (1)は虚数解でも比は考えることができるから判別式不要 であるからでしょうか？ もしそうなら、(1)の問題を『2つの解の差が2』などとすると、今度は2つの解が実数でないとおかしい（虚数に大小はないから）のでこのときは判別式を使わないといけないんですよね？ 長くなりましたが、どうぞ、回答を宜しくお願い致します!
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（1）は、もちろん虚数解でも構わないから、解の判別をする意味もないわけですが、もし仮に 実数解という指定があったとしても判別式を使う必要などないでしょう。 青チャートでどう解説しているかは知りませんが、この問題はおそらく、2解をα、2αのように 置いて、解と係数の関係から、 α+2α=6 …(A) α*2α=k …(B) という式を立て、まず(A)からαの値を求め、それを（B) に代入してkを求めるという手順を 取っているのではないかと思います。 この手順で解くなら、αの値を求めた時点で解は具体的に求まり、自動的に実数であることが 分かってしまいますから、あえてわざわざ判別式を持ち出すまでもありません。 実数解であれば、必ず判別式を使って範囲を絞る必要があるなどとは思わない方がいいです。
その他の回答 (2)
- waseda2003
- ベストアンサー率50% (110/216)
要するに，「２倍」や「差が２」というのは複素数の範囲でも定義 されている概念だということです。 方程式は「実数の範囲でと指示されない限り複素数の範囲で 考える」という原則があるからでもあります。 「正の解」の方は，「正」自体が実数に限定された概念 （5932768さんのおっしゃるとおり大小を前提とする概念） なので，「正」と言った時点で実数（の特別な値）と仮定 していることになります。 したがって， ＞(2)は解が実数である必要があるのに対して ＞(1)は虚数解でも比は考えることができるから判別式不要 はまったくその通りで， ＞(1)の問題を『2つの解の差が2』などとすると、 ＞今度は2つの解が実数でないとおかしい というのは考え違いです。 青チャートなら，こうした説明はきちんと書いてあると思うのですが。
お礼
チャートは虚数の大小関係は考えないと書いてあったので差も考えないと勘違いしてました。 回答ありがとうございました。
- japaneseda
- ベストアンサー率34% (76/219)
（１）はそうです。もしかしたら虚数解だと困るので、判別式を用いています。 （２）は２解 α・βが正と負なら強制的に２つの共有点があります。 個人的に解と係数の関係を使うより、二次関数を使った条件設定を活用したほうが、簡単ですがね・・・・
お礼
回答ありがとうございます。解決しました。
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