多面体

質問

次のものの求め方を教えてください。（すぐでなくていいです。）

１．正十二面体の体積および外接球の半径
２．正二十面体の体積
３．サッカーボール型の体積および外接球の半径

回答No.2

IJHSM

追加で外接球の半径は
1つの面を水平になるように12面体を置いて、上面と下面にない10の頂点でできている反正5角柱の最長対角線から求める

*反正n角柱とは、正n角形の底面と、それをその面と垂直に移動し、さらにそれを重心回りに(360゜/(2n))回転した底面をもち、底面の各頂点についてそれに最も近い他方の底面の2頂点を結んだ三角形の側面を2n個持つ立体。

答えは　r=√(3)(1+√5)/4　だと思います

20面体の体積を求めているサイトがあったため参考にしてください。

サッカーボールは正五角形と正六角形からなっています。
正六角形の３つの辺と正三角形の各辺が重なるような正三角形を考えます。
正三角形を二つ重ねた図形の３つの小さな三角形を取り除いた三角形です。
その正三角形で正二十面体を作ると各辺が１のサッカーボール型は各辺が３の正二十面体から
各辺が１の正五角形＋正三角形×５の五角すいが10個取り除いた形と気づきます。
あとは今までの事を踏まえて考えましょう。

参考URL：

http://yosshy.sansu.org/20_vol.htm

回答No.1

IJHSM

１についてはヒントを出していきます
１．正十二面体の体積について
正十二面体の中心をOとして
一つの五角形（各点をABCDEとする）とOを結んだ5角錐OABCDEの体積を12倍すればいいということを頭に入れておきましょう。
なので正5角形の面積を出し、Oまでの距離を出せれば体積は出せます。
sin72°などもがんばって計算してください
72*5=360ですのでそこからいけば出せるはずです
答えは(15＋7√5)/4だと思います。
但し、正12面体を構成している正多面体の1辺を１とする。

2の20面体もこんな感じで出来るんじゃないでしょうか？
計算してないので実値は出せません

外接円の半径も考えたのですが、自信がないので伏せときます。
他の回答者を待ってください