こんにちわ（--)/

質問

こんにちわ（--)/
数学についての問題なんですが・・・

一辺の長さがaの正四面体ＡＢＣＤにおいて・・・
(1)隣り合う2つの面のなす角をθとするときのcosθの値を求めよ。
(2)四面体の体積Ｖをaを用いて表せ。
(3)四面体に外接する球の半径Ｒをaを用いて表せ。
(4)四面体に内接する球の半径rをaを用いて表せ。

という問題なんですが、(3)がわかりません。
正弦定理をつかえばいいんでしょうか（？？）

(1)1/3
(2)√2a三乗/12
(3)√6a/4
(4)√6a/12
↑↑↑解答です。m（。。）m

回答No.2

muturajcp

A=(0,0,0)
B=a(1,0,0)
C=a(1/2,√3/2,0)
D=a(1/2,√3/6,√6/3)
|AB|=|AC|=|AD|=|BC|=|BD|=|CD|=a

BCの中点
E=(B+C)/2=a(3/4,√3/4,0)
DE=a(1/4,√3/12,-√6/3)
|AE|=|DE|=a√3/2
(AE,DE)=|AE||DE|cosθ=(a^2)/4
(1)
cosθ=(AE,DE)/(|AE||DE|)=1/3

H=(A+B+C)/3
底面積|ABC|=(a^2)√3/4
高さ|D-H|=a√6/3
の錐体の体積は
(2)
(1/3)|ABC||D-H|=(1/3)(a^2)(√3/4)(a√6)/3=(√2)(a^3)/12

外(内)接円の中心
G=(A+B+C+D)/4=a(1/2,√3/6,√6/12)
(3)
R=|AG|=a√(3/8)=(√6)a/4

内接円とABCの接点
H=(A+B+C)/3=a(1/2,√3/6,0)
(4)
r=|HG|=a√6/12=(√6)a/12

回答No.1

2ac0uO

四面体の中心を原点にして、そこから頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，ＤへのベクトルをＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄと表す事にします。
又、二つのベクトルのなす角をθとします。
対称性を考慮に入れると、|Ａ|=|Ｂ|=|Ｃ|=|Ｄ|
Ａ・Ｂ=Ａ・Ｃ=Ａ・Ｄ=Ｂ・Ｃ=Ｂ・Ｄ=(|Ａ|^2)cosθ
又、
Ａ+Ｂ+Ｃ+Ｄ=0

Ａ・Ａ+Ａ・Ｂ+Ａ・Ｃ+Ａ・Ｄ=0

Ａ・Ａ=-3(|Ａ|^2)cosθ

cosθ=-1/3

因みに、ｎ次元空間に拡張して (n+1)胞体に拡張すると、cosθ=-1/n となります。

四面体の中心から頂点までの距離をが R となりますので、
R^2 + R^2 -2(R^2)cosθ = a^2

R^2 = (6/16)a^2
R = √6 a/4

別法として、
各頂点から対抗する底面に垂線をおろすと、底面の重心を通り、互いに３：１に内分します。
また、交点は正四面体の重心を通ります。
正三角形の頂点から底辺に垂線をおろすと、底辺の重心を通り、互いに２：１に内分します。
また、交点は正三角形の重心を通ります。
詳しい説明は省略しますが、

b = √(a^2 - (a/2)^2) * 2/3
R = √(a^2 - b^2) * 3/4