x→+0のとき、(-2log x)/xの値

質問

x→+0のとき、(-2log x)/xの値を問題を解く上で求めないといけないのですが
∞/∞とか0/0にならないのでロピタルの定理も使えなくて、困っています

どうやら、∞になるらしいのですが、何故なのでしょうか？教えてください

回答No.3

R_Earl

もう一度基本に立ち返ってみて下さい。
少し難しく考えているような気がします。

x → +0は「xを右側からどんどん0に近づける」ですよね。
なのでxに代入する数をどんどん0に近づけながら(-2log x)/xの値を考えてみましょう。
例えば

x = 1の時、(-2log x)/x = 0 / 1
x = 1/eの時、(-2log x)/x = 2 / (1/e)
x = 1/e^2の時、(-2log x)/x = 4 / (1/e^2)
x = 1/e^10の時、(-2log x)/x = 20 / (1/e^10)
・
・
・

xが右側から0に近づくと、分子がどんどん大きくなって、
分母がどんどん小さくなります。
分子が大きくなって分母が小さくなると、
分数全体の値としてはどうなるでしょうか？
それを考えるとx → +0の時、(-2log x)/x → ∞となる事が分かると思います。

> ∞/∞とか0/0にならないのでロピタルの定理も使えなくて、困っています

分子の極限と分母の極限が分かっているのにロピタルの定理が使えない場合、
それは逆に「ロピタルの定理を使わなくてもすぐに極限が分かる」ようになっているはずです。

例えばですが、x → ∞を考えた時に∞/(+0)となる場合、
この極限は「無限大に発散する」となります。
これは「分子が大きくなって分母が小さくなると、分数全体の値はどうなるか？」
という事を考えれば、ある意味「当たり前」に感じませんか？

同様に(+0)/∞となる場合、この極限は「0に収束」となります。
これは先ほどのように、
「分母が大きくなって分子が小さくなると、分数全体の値はどうなるか？」
という事を考えればよいです。