x^n-1=0の解の２乗
mを使った指数の表現がわからないので質問します。問題は、
n次方程式x^n-1=0のn個の解 cos((2kπ)/n)+isin((2kπ)/n) (k=0,1,2・・・,n-1)のそれぞれの2乗のうち相異なるもののすべてを解とする最低次の方程式をつくれ。
というものです。
ω=cos((2π)/n)+isin((2π)/n)とおくと、 x^n-1=0のn個の解の集合は、A={1,ω,ω^2,ω^3,・・・,ω^(n-1)}である。
1)n=2m-1(m∈N)のとき、A={1,ω,ω^2,ω^3,・・・,ω^(2m-2)} この各元の2乗の集合は、B={1,ω^2,ω^4,・・・
,ω^(2m-2),ω^2m,ω^(2m+2),・・・,ω^(4m-4)}である。ここでωはx^(2m-1)-1=0の解であるから、ω^(2m-1)=1。ω^(2m+2k)=ω^(2m-1)*ω^(2k+1)=ω^(2k+1) (k=0,1,2・・・,m-2)。よってA=B ゆえに求める方程式x^n-1=0
自分は、Bの元のω^2m以上のωの偶数乗は、Aの元のωの奇数乗であることは、ω^(2m+2k)=ω^(2m-1)*ω^(2k+1)よりわかったのですが、Bの元のω^(2m-2)以下の元 ,ω^(2m-4)などに対応するAの元があるかがはっきりしません。Aの値によっては、2m-4は負の数になる等疑問がいくつか出てきました。Aのωの指数は,0から2m-2まで１つずつ増えて行くので、ω^(2m-4)はAの元に含まれるとは感覚的にはわかります。しかし、m=2,3の場合を文字で指数を表現するとわかりづらいのです。例えばm=2,n=3のとき A={1,ω,ω^2}={1,ω^(2m-3),ω^(2m-2)} とすると、B={1,ω^(4m-6),ω^(4m-4)}となり、4m-6は2m-2以下か?とかAのωの偶数乗とひとしいか分かりづらかったです。また、2m-k=mを満たすkはmより、A={1,ω^(m-1),ω^(2m-2)} (2m-kで2m-2はm=k=2となるので、)これはB={1,ω^(2m-2),ω^(4m-4)}となり、さらに、m=3,n=5のとき A={1,ω,ω^2,ω^3,ω^4}={1,ω^(m-2),ω^(m-1),ω^(2m-3),ω^(2m-2)}としても、B={1,ω^(2m-4),ω^(2m-2),ω^(4m-6),ω^(4m-4)}とぱっと見ではAのωの偶数乗とひとしいか分かりづらいです。どなたか、Bの元のω^(2m-2)以下の元はAのωの偶数乗の元と等しいとわかりやすくする、ωの指数の表現があれば教えてください。またBの元のどのωの累乗から、2m+2kでどこから4m-2lのかその分け方も教えてください。お願いします。
本の解説はつづいて、2)n=2m(m∈N)のときを考え、答えは、nが奇数のときx^n-1=0 nが偶数のときx^(n/2)-1=0でした。
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お礼
分りやすい解説ありがとうございました。