x^n-1=0の解の２乗

質問

mを使った指数の表現がわからないので質問します。問題は、
n次方程式x^n-1=0のn個の解 cos((2kπ)/n)+isin((2kπ)/n) (k=0,1,2・・・,n-1)のそれぞれの2乗のうち相異なるもののすべてを解とする最低次の方程式をつくれ。
というものです。
ω=cos((2π)/n)+isin((2π)/n)とおくと、 x^n-1=0のn個の解の集合は、A={1,ω,ω^2,ω^3,・・・,ω^(n-1)}である。
1)n=2m-1(m∈N)のとき、A={1,ω,ω^2,ω^3,・・・,ω^(2m-2)} この各元の2乗の集合は、B={1,ω^2,ω^4,・・・
,ω^(2m-2),ω^2m,ω^(2m+2),・・・,ω^(4m-4)}である。ここでωはx^(2m-1)-1=0の解であるから、ω^(2m-1)=1。ω^(2m+2k)=ω^(2m-1)*ω^(2k+1)=ω^(2k+1) (k=0,1,2・・・,m-2)。よってA=B ゆえに求める方程式x^n-1=0
自分は、Bの元のω^2m以上のωの偶数乗は、Aの元のωの奇数乗であることは、ω^(2m+2k)=ω^(2m-1)*ω^(2k+1)よりわかったのですが、Bの元のω^(2m-2)以下の元 ,ω^(2m-4)などに対応するAの元があるかがはっきりしません。Aの値によっては、2m-4は負の数になる等疑問がいくつか出てきました。Aのωの指数は,0から2m-2まで１つずつ増えて行くので、ω^(2m-4)はAの元に含まれるとは感覚的にはわかります。しかし、m=2,3の場合を文字で指数を表現するとわかりづらいのです。例えばm=2,n=3のとき A={1,ω,ω^2}={1,ω^(2m-3),ω^(2m-2)} とすると、B={1,ω^(4m-6),ω^(4m-4)}となり、4m-6は2m-2以下か?とかAのωの偶数乗とひとしいか分かりづらかったです。また、2m-k=mを満たすkはmより、A={1,ω^(m-1),ω^(2m-2)} (2m-kで2m-2はm=k=2となるので、)これはB={1,ω^(2m-2),ω^(4m-4)}となり、さらに、m=3,n=5のとき A={1,ω,ω^2,ω^3,ω^4}={1,ω^(m-2),ω^(m-1),ω^(2m-3),ω^(2m-2)}としても、B={1,ω^(2m-4),ω^(2m-2),ω^(4m-6),ω^(4m-4)}とぱっと見ではAのωの偶数乗とひとしいか分かりづらいです。どなたか、Bの元のω^(2m-2)以下の元はAのωの偶数乗の元と等しいとわかりやすくする、ωの指数の表現があれば教えてください。またBの元のどのωの累乗から、2m+2kでどこから4m-2lのかその分け方も教えてください。お願いします。
本の解説はつづいて、2)n=2m(m∈N)のときを考え、答えは、nが奇数のときx^n-1=0 nが偶数のときx^(n/2)-1=0でした。

回答No.2

f272

n=2m-1(m∈N)のときは
A={ω^k}ただしk=0から2ｍ-2の整数
B={ω^(2k)}ただしk=0から2ｍ-2の整数
B={ω^k}ただしk=0から4ｍ-4の偶数
B={ω^k}ただしk=0から2ｍ-2の偶数とk=2ｍから4ｍ-4の偶数
ここでω^k=ω^(k+n)=ω^(k+2m-1)なのだから
B={ω^k}ただしk=0から2ｍ-2の偶数とk=1から2ｍ-3の奇数
B={ω^k}ただしk=0から2ｍ-2の整数
となる。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

＞1)n=2m-1(m∈N)のとき、A={1,ω,ω^2,ω^3,・・・,ω^(2m-2)} この各元の2乗の集合は、B={1,ω^2,ω^4,・・・
,ω^(2m-2),ω^2m,ω^(2m+2),・・・,ω^(4m-4)}である。ここでωはx^(2m-1)-1=0の解であるから、ω^(2m-1)=1。ω^(2m+2k)=ω^(2m-1)*ω^(2k+1)=ω^(2k+1) (k=0,1,2・・・,m-2)。よってA=B ゆえに求める方程式x^n-1=0

解答のこの部分で、解の集合の表記を変えてみてはどうでしょうか。

ーー

1) n = 2m-1 (m∈N) のとき

A = { ω^k | kは0以上2(m-1)以下の整数 }
この各元の2乗の集合は
B = { ω^(2k) | kは0以上2(m-1)以下の整数 }
であり、この集合Bは
B = { ω^k | kは0以上4(m-1)以下の偶数 }
と言い換えられる。この集合Bは、2つの集合
B1 = { ω^k | kは0以上2(m-1)以下の偶数 }
B2 = { ω^k | kは2m以上4(m-1)以下の偶数 }
に分割される。ただし m = 1 の場合は B2 = ∅ と定める。
(B = B1 ∪ B2 , B1 ∩ B2 = ∅)

ここで、ω^(2m-1) = 1 であることから、集合B2は
B3 = { ω^k | kは 1 以上 2(m-1) - 1 以下の奇数 }
と一致する。ただし m = 1 の場合は B3 = ∅ と定める。
( ω^(2m) = ω , ω^( 4(m-1) ) = ω^(2m-3) = ω^( 2(m-1) - 1 ) )

集合B1とB3について
B1 ∪ B3 = { ω^k | kは0以上2(m-1)以下の整数 } , B1 ∩ B3 = ∅
が成り立つ。
よって、B1の要素とB3の要素には同じものがなく、B1の要素とB3の要素をあわせると集合Aの要素と一致することがわかるので
A = B といえる。

お礼

k=2m以上と2(m-1)以下にわける、と偶数奇数がわかりやすくなるんですね。回答ありがとうございます。