振動です

質問

図のように、2つのばねk1,k2と2つの質量m1,m2がとり付けられています。xo(t)＝Xosinωtで支持部が変位するとき
（１）この振動系の運動方程式を導出しなさい
私の回答
m１（d^2 x1 /dt^2）=-k1(x1-xo)+k2(x2-x1)
と
m2(d^2 x2 /dt^2)=-k2(x2-x1)

(2)k1=2k , k2=k ,m1=m ,m2=m/2 の時、設問（１）の運動方程式はどう書き直せるか。ωo＝√（k/m）を用いて記述せよ
私の回答
（d^2 x1 /dt^2）=-2（ωo＾２）（x1-xo）+（ωo＾２）(x2-x1)
（d^2 x2 /dt^2）=-2（ωo＾２）(x2-x1)

(3)ωo=1rad/sのとき、設問（２）の運動方程式を用い、固有角振動数ωnを求めよ。
この問題を見た瞬間、あれωoが（不減衰）固有角振動数でないの？って思いました。ωoとωn何が違うのですか？

それと設問（１）（２）は正しいですか？教えてください

回答No.1

SKJAXN

(1)(2)は、正しいです。

(3) ωo＝1を代入すると、
(d2/dt2)x1＝－3*x1＋x2＋2*x0 →(式1)
(d2/dt2)x2＝2*x1－2*x2 →(式2)

系の固有振動数に外部入力は影響しないことを考慮し、x0＝0の下で(式1)(式2)を満たす解を、
x1＝A*cos[ωn*t＋φ]
x2＝B*cos[ωn*t＋φ]
とおいて(式1)(式2)に代入して係数をまとめると、
(ωn^2－3)*A＋B＝0 →(式3)
2*A＋(ωn^2－2)*B＝0 →(式4)

この連立方程式が、A≠0、B≠0の解を持つ条件は、
(ωn^2－3)*(ωn^2－2)－2＝0
⇔ (ωn^2－1)*(ωn^2－4)＝0

よって求める固有振動数は、
ωn＝1、2 です。

蛇足ですが、ωn＝1のとき(式3)(式4)から、A:B＝1:2
ωn＝2のとき(式3)(式4)から、A:B＝1:－1
以上より、外部入力が0のときの一般解は、
x1＝A1*cos[t＋φ1]＋A2*cos[2*t＋φ2]
x2＝2*A1*cos[t＋φ1]－A2*cos[2*t＋φ2]
となります。ここでA1、A2、φ1、φ2は、積分定数で初期条件により決まります。

また外部入力による応答を考えると、x0＝X0*sin[ω*t]より、特性解を
x1＝A'*sin[ω*t]
x2＝B'*sin[ω*t]
として(式1)(式2)に代入し、A'、B'を求めると、
A'＝－2*(ωn^2－2)/((ωn^2－1)*(ωn^2－4))*X0
B'＝4/((ωn^2－1)*(ωn^2－4))*X0
であり、外部入力を含めた一般解は、
x1＝A1*cos[t＋φ1]＋A2*cos[2*t＋φ2]＋A'*sin[ω*t]
x2＝2*A1*cos[t＋φ1]－A2*cos[2*t＋φ2]＋B'*sin[ω*t]

と表現でき、外部入力の振動数が固有振動数に近づくと、共振現象が起こることが分かります。

いかがでしょう？