行列式

質問

次の3次行列式のもとめ方をわかりやすく説明してもらえないでしょうか？

|a b c|
|c a b|
|b c a|

与えられた行列式をDと置く。

（第一行）　= （第一行） + （第二行）　x ω + （第三行） x ω^2
（第一行） = （第一行） + （第二行） x ω^2 + （第三行） x ω
（ただしωは１の虚数立方根）

によりDは (a+bω^2 + cω), (a + bω + cω^2)で割り切れる。
Dがa,b,cの3次同次式であることと、a^3の係数に注目すれば
D = (a + b + c)(a+bω^2 + cω)( a + bω + cω^2)
= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc

「Dは (a+bω^2 + cω), (a + bω + cω^2)で割り切れる」という箇所が分かりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

行列式に行基本変形を施しても、値は変わりません。
第一行を （第一行）+（第二行）ω+（第三行）ω^2 で置き換えると、
新しい第一行は a+bω^2+cω,(a+bω^2+cω)ω,(a+bω^2+cω)ω^2
となりますね。行列のある行の各成分をスカラー s 倍すると、
行列式の値も s 倍になりますから、行から s を括り出すころができます。
この新しい第一行からは、(a+bω^2+cω) が括り出せます。

同様に、第一行を （第一行）+（第二行）ω^2+（第三行）ω で置き換えると、
新しい第一行が a+bω+cω^2,(a+bω+cω^2)ω^2,(a+bω+cω^2)ω
となって、(a+bω+cω^2) が括り出せます。

よって、D は a+bω^2+cω でも a+bω+cω^2 でも割り切れることになります。

しかし、A No.1 さんも言うように、面倒臭いですね。
たった３次なんだから、余因子展開でもして、直接行列式の値を
書き下してしまったほうが、よほど簡単でしょう。

お礼

ありがとうございました。(1,1)成分と(1,2)成分にそれぞれω、ω^2を掛けて共通の因子を生み出す、というところが分かりませんでした。行列式というよりは複素数の基本の問題なのでしょうが。

回答No.3

Tacosan

しょせんは 3次なので, サラス展開するだけで
a^3+b^3+c^3-3abc
ですよね＞#2.

「因数分解した形」にもっていくとしても, 最後の因子が a+b+c であることの根拠が書かれていないという不思議.

お礼

失礼しました。
説明の最初に
(第一行) = (第一行) + (第二行) + (第三行)
とすると第一行の成分はすべてa+b+cになる。したがって、Dはa+b+cで割り切れる、とありました。

回答No.1

Tacosan

そもそも
「（第一行）　= （第一行） + （第二行）　x ω + （第三行） x ω^2」
の部分から何を言っているのかさっぱりですが....

なんでこんな面倒な方法をとっているんだろう.

お礼

ありがとうございます。もちろん行列式の答えは普通の計算でも示されているのですが、余談としてこの方法が書いてあります。