行列の問題です。

質問

ωを実数、iを虚数単位、行列Aを
A＝| ０ 　 iω|
　　 |-iω 0 |
とする。

１）適当なユニタ行列Uをもちいて、
A＝U｜λ1　　0｜Uｔ
　　　 ｜0　　λ2｜　　　
の形に表せ。ここでλ1とλ2はAの固有値、Utは行列Uの随伴行列を表し、行列Uがユニタリであるとは、U＾-1(逆行列)＝Uｔであることをいう。

2)一般に正方行列Xの指数関数e^Xは無限級数
e＾X＝E+X＋(１/2!)X^2+・・・+(1/n!)X^n+・・・
で定義される。
ここでEは単位行列を表す。
１）の結果を利用して、行列e^iAs（sは任意の実数）を求めよ。

以上です。
よろしくお願いします。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

A の固有ベクトルを求めたなら、それぞれの長さで割って、
長さ 1 の固有ベクトルを求めます。それらを列ベクトルとして並べて
行列を作り、U と名づけましょう。積 (Uの逆行列)AU を計算してみると、
計算間違いがなければ、対角行列になります。それを L と名づけると、
A = UL(Uの逆行列) と書けます。以上が、行列の対角化です。
L の対角成分には、A の固有値が並びます。
必ず自分で計算して確認すること。

A = UL(Uの逆行列) と変形できれば、Aのn乗 = U(Lのn乗)(Uの逆行列) です。
指数関数の級数展開で、各項に上記の Aのn乗 を代入すると、
前に書いた US(Uの逆行列) の形になって、S が L の式で表せます。
L から S へは、対角行列だけの計算なので、成分計算が容易です。
少し自分で手を動かしてみて、不明な箇所を具体的に訊いてください。

お礼

返信遅くなり、すみません。
各固有値λ１、λ２はω、－ωとなりました。
しかし、iがからんでくるため、規格化ができないです。

回答No.15

alice_44

三行目で、かえって最初の式に近づいていますね。
計算間違いのせいで、元どおりにはなってませんが。
「 { }内を 」「 成分ごとに 」計算して、
２×２行列の形に書け…と言ったはずです。
そうしようとしてみましたか？

(isL)^n = is(L^n) にしてしまっていたり…
補足質問での数々の基礎力不足を見ても、
貴方には、この問題は早過ぎるとしか思えません。

まだ挑戦してみる気があれば、
E + ∑[n=1→∞] (1/n! )(isL)^n のふたつの対角線分を
書きだして見てください。

お礼

そうですか・・・。
基礎力をつけて1から出直したいと思います。
お付き合いいただきありがとうございました。

回答No.14

alice_44

No.12 補足を見落としていました。
「成分計算」から通じないんですね。そうか。

質問文に A を書いたように、m 行 n 列の行列を、
mn 個の数を並べて表すのが、「成分表示」。
そのとき並べられた各数が、その行列の「成分」。
「成分計算」とは、行列の計算を、それぞれの
成分ごとに行うことを言います。

isL が対角行列であることは確認したようですから、
その n 乗を成分表示してみましょう。それを使って、
先の｛　｝内を、ひとつの 2×2 行列に書いてみる。
この時点では、各成分は □+□+□+… の形で構いません。

その □+□+□+… という式を睨んで、
指数関数のマクローリン展開と見比べると、
何かに気が付かないか？ という話です。

気付く気付かないはともかく、｛　｝内の成分表示は
補足に書いてみてください。
s は変数 s のまま。勝手に値を代入したりせずにね。

お礼

＝U{E+is∑1/n!|ω^n 　　 0|}U^-1
|0 　　 (-ω)^n|
=UEU^-1+Uis∑1/n!|ω^n 　　 0|U^-1
|0 　　 (-ω)^n|
=|1 　　 0| + is∑1/n!A^n
|0 　　 -1|
となりました。これでいいでしょうか？

回答No.13

alice_44

前に出す件：
補足に書いた自分の式を、よく見てごらんなさい。
eの(a+b)乗=(eのa乗)(eのb)乗 であって、
eの(a+b)乗=a(eのb)乗 ではないし、
まして、eの(ab)乗=a(eのb)乗 ではありません。

｛　｝内の件：
わからないことを質問して、回答を得たときには、
ヒントには従ってみたほうがよいと思います。
成分計算をして、対角成分を書いてみよ…と、
繰り返し書きましたが？

回答No.12

Tacosan

「sを1としましたが、だめでしたか？」という言葉は, 問題文の「sは任意の実数」を完全に誤解している. これは「s としててきとうな実数を 1個もってくればいい」という意味ではない.

あと, #10 に書いたんだけど, 成分を代入して計算した? あなたの問題なんだから, あなたが手を動かさないと.

お礼

成分というのはn=1、n=2…の時の値のことではないのでしょうか？

回答No.11

alice_44

＞ is を前に出せませんでしたっけ？

出せません。
出せそうに思う理由を書けば、説明しましょう。
ただそんな気がするだけなら、覚え直しなさい。

＞ 1/n！ は、どうしたらよいでしょうか？

先の｛　｝内を成分計算してみましょう。
その対角成分と指数関数のマクローリン展開を
見比べると、何かに気づくはずです。
気付かない場合は、計算のチェックをしますから、
対角線成分を補足に書いてください。

＞　この計算、何が違うんでしょうか？

流石に、2×2 の逆行列くらい計算できないと、
この問題は未だ早すぎるのでは？
D, C11, C22 は ok、C12, C21 が違います。

お礼

＞ is を前に出せませんでしたっけ？
出せません。

線形微分方程式などで、
log(x)=~~~+c(t)
x=e^(~~~+c(t))
=e^(~~~)e^c(t)
=c(t)e^(~~~)
で最終的に初期条件でcを決めて、xの式を導くと思いますが、今回は使えないんでしょうか？

=U{E+iL-(1/2)L^2…+(1/n!)(iL)^n+…}U^-1
ここから、どう計算していいのでしょうか？
Lにiかけたり、2乗して1/2かけても、見比べても何もわからないです。

逆行列は完全に私のミスでした。すみません。

回答No.10

Tacosan

なぜか s が消えちゃってますが, 「isL が対角行列である」ということは大丈夫でしょうか? これが大丈夫なら, あとは成分を代入して計算するだけです.

お礼

sを1としましたが、だめでしたか？

isLについては、Lが対角行列で、isを行列にかけるだけだからisLも対角行列になると思いましたがどうでしょうか？

回答No.9

Tacosan

a が行列じゃなくてスカラのときに
e^(ias) = ise^a
とできますか?

で, 「1/n!はどうしたらいいでしょうか？」については「ほかっておいてください」ということになろうかと. isL が (#8 で言われるように) 対角行列であれば, その計算は非常にかんたんになります.

あと, U^1 はたぶん U^-1 の間違いだと思いますが, その U はユニタリですよね. なら, U^-1 は U の随伴行列にならないとおかしいですよ.

補足

U^1→U＾-1でしたね。
おっしゃったように随伴行列として計算したら一致しました。

>= U { E + (isL) + (1/2!)(isL)^2 + … + (1/n!)(isL)^n) + … } (U^-1)

=U{E+iL-(1/2)L^2…+(1/n!)(iL)^n+…}U^-1
これじゃ駄目ですか？これ以上、式展開できないんですが…

回答No.8

alice_44

Aの2乗は、問題文のどこにありましたか？

e^iAs = ise^A のほうは、
問題文がそういう意図なら、そういうことになりますが、
違うんじゃないかなあ。e^(iAs) と読むのが自然でしょう。

e^X = E + X + (1/2!)X^2 + … + (1/n!)X^n + …
に X = iAs と A = UL(U^-1) を代入して、

e^(iAs) = E + (iAs) + (1/2!)(iAs)^2 + … + (1/n!)(iAs)^n + …
= E + (iUL(U^-1)s) + (1/2!)(iUL(U^-1)s)^2 + … + (1/n!)(iUL(U^-1)s)^n + …
= E + U(isL)(U^-1) + (1/2!)(U(isL)(U^-1))^2 + … +(1/n!)(U(isL)(U^-1))^n + …
= UE(U^-1) + U(isL)(U^-1) + (1/2!)U((isL)^2)(U^-1) + … + (1/n!)U((isL)^n)(U^-1) + …
= U { E + (isL) + (1/2!)(isL)^2 + … + (1/n!)(isL)^n) + … } (U^-1)

この { } 内が、対角行列だけの計算なので、
成分計算容易だろう～ と言っていたのです。
isL も、対角行列ですよね。

お礼

e^(iAs)ですが、isを前に出せませんでしたっけ？

＝U { E + (isL) + (1/2!)(isL)^2 + … + (1/n!)(isL)^n) + … } (U^-1)
をまとめて、
U{1+Σ(1/n!)(isL)^n}U^-1としましたが、
1/n!はどうしたらいいでしょうか？

また、いまさらですが、
U＝|1/√2 1/√2|
|-(1/√2)i (1/√2)i |
が得られ、
U^1AUで対角行列がどうしても得られません。
U^1＝1/D |C11 C12|
|C21 C22|
D=(1/√2)×(1/√2）i + (1/√2)×(1/√2)i=i
C11=(1/√2)i,C12=(1/√2)i,C21=-1/√2,C22=1/√2
で、
U^1=|(1/√2) (1/√2)|
|-(1/√2i) (1/√2i)|
この計算、何が違うんでしょうか？

回答No.7

Tacosan

iω×v2＝ωv1 なら i v2 = v1. v1 = 1 とすると v2 は i と -i のどっち?

お礼

-iになりますね・・・
ありがとうございました。

ところで、
＞指数関数の級数展開で、各項に上記の Aのn乗 を代入すると、
前に書いた US(Uの逆行列) の形になって、S が L の式で表せます。

Aの2乗とか問題文にありますけど、それらは無視していいのでしょうか？

また、e^iAs=ise^Aとして、e^Aを問題文の式のような形にすればいいのでしょうか？
そして、そこから
ise^A＝0として解けばいいのでしょうか？

回答No.6

alice_44

＞ しかし、i がからんでくるため、規格化ができないです。
おや？ A No.3 補足に
＞ 対角化は一応出てきています。
とあるけどな… はて。

固有値 ±ω が見つかったのなら、
固有ベクトル ω → (1, -i), -ω → (1, i) も判ったでしょう。
規格化できないとのことですが、(1, i) の長さは
√(1^2 + i^2) ではなく、√(1^2 + i(-i)) = √2 ですよ。

この点がピンとこなければ、「エルミート内積」について
本を読んでみること。

お礼

＞ 対角化は一応出てきています。
とあるけどな… はて。

問題の最初に物理学では、対角化の問題がよくつかわれるとあったので、出てきていますと述べました。

＞√(1^2 + i^2) ではなく、√(1^2 + i(-i)) = √2 ですよ。
ずっと、√(1^2 + i^2)だと思っていました。

ありがとうございました。

補足

＞固有ベクトル ω → (1, -i), -ω → (1, i) も判ったでしょう。

ω → (1, i), -ω → (1, -i)じゃないでしょうか？
固有ベクトルをV(v1、v2)として、
AV＝λVより
iω×v2＝ωv1
だから
ω → (1, i)ではないでしょうか？