行列の問題です。

質問

行列の問題です。

e[ij]をn*n行列でi行j列成分のみ１で他は０であるとする。
i≠jのとき e[ij]^a=E+ae[ij]とする。ただしE＝単位行列、a∈R

(1)e[ij]*e[hk]=δ[jh]e[ik]を示せ。 ※δjhはクロネッガーのデルタ。

(2)(e[ij]^a)*(e[ij]^b)=(e[ij]^x)となるxをa,bを使って書け。

(3)e[ij]^aの逆行列を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp

(1)
e[ij]*e[hk]=(c_{l,m})_{l=1～n,m=1～n}
l≠i又はm≠kのときc_{l,m}=0
j≠hのときc_{i,k}=0
j=hのときc_{i,k}=1
e[ij]*e[hk]=δ[jh]e[ik]

(2)
i≠j
(e[ij]^a)*(e[ij]^b)
=(E+ae[ij])*(E+be[ij])
=E+(a+b)e[ij]+abe[ij]e[ij]
=E+(a+b)e[ij]
x=a+b

(3)
i≠j
(e[ij]^a)*(e[ij]^{-a})=e[ij]^0=E
(e[ij]^a)^{-1}=e[ij]^{-a}

回答No.1

noname#152421

(1)実際に左辺を素直に計算するだけです。

(2)「^a」この記号はあんまり良くないと思いますけど、累乗とは関係ない別の新しい演算だと思って定義に従って素直に計算してみればいいだけです。

(3)(2)を使います。