行列の問題から２題です

質問

実数xに対して4次正方行列Axを下のように定める。
Ax＝
|1,0,0,0|
|0,1,0,x|
|0,0,1,0|
|0,0,0,1|
(1)x、yを実数とする時、積AxAyを求めよ
(2)Axの逆行列を求めよ
------------------------------------------
(1)Ayがどのような行列なのか分からないので計算ができません。Axのx部分をyに変えるとAyとなりますか？
(2)(1/|Ax|)*(Axの余因子行列)で求めると(1/1)*単位行列になりましたが合っていますか？

回答No.2

Meowth · ベストアンサー

おそらく
A(x)=
|1,0,0,0|
|0,1,0,x|
|0,0,1,0|
|0,0,0,1|
A(y)=
|1,0,0,0|
|0,1,0,ｙ|
|0,0,1,0|
|0,0,0,1|
で
積A(x)A(y)
=A(x+y)
A(x)の逆行列=A(-x)
が答え

回答No.4

arrysthmia

No.3 補足へ返信：
(Ax)^-1 の結果は、No.2 さんが書いておられる通り、それで合っています。

因みに、行列 M の余因子行列とは、
M から 第 i 行と第 j 列を取り除いた小行列 M_ij の行列式に、(-1)^(i+j) を掛けた値
(det M_ij)(-1)^(i+j) を第 i 行 j 列成分とする行列　の転置です。
余因子行列の第 i 行 j 列成分が、 (det M_ji)(-1)^(j+i) になる　ということです。

回答No.3

arrysthmia

馬鹿正直に、行列積 (Ax)(Ay) を計算してもよいのですが、
Ax = E + x N （ただし E は単位行列）と書けるような
行列 N （その成分表示が書けますか？）に着目して、
N^2 = O であることに気付いてもよいでしょう。
ここから、(E + x N)(E + y N) = E + (x+y) N が出ます。
これは、(1) の答えそのものですね。
これを使って、E + (x+y) N = E となるような y を求めれば、
Ax の逆行列が求まったことになります。

＞ (1/|Ax|)*(Axの余因子行列)で求めると(1/1)*単位行列になりましたが
＞ 合っていますか？

間違っています。
|Ax| は 1 ですが、Axの余因子行列 は、単位行列ではありません。
余因子行列の第２行４列成分を検算してみましょう。

補足

丁寧なご説明ありがとうございます。再考した結果次のようになりました。
Axの逆行列＝
|1,0,0,0|
|0,1,0,-x|
|0,0,1,0|
|0,0,0,1|

そこで、(Ax)と(Axの逆行列)の積を求めると単位行列になりました。
これで、合っていますか？

回答No.1

Tacosan

(1) そのとおり。
(2) 「(1/1)*単位行列」ってどんな意味?

お礼

|1.0.0.0|
|0.1.0.0|
|0.0.1.0|
|0.0.0.1|
すみません、補足を打ち間違えていました。
こっちが正しいです。度々すみません。

補足

Axの余因子行列を計算したら
|1.0.0.0.0|
|0.1.0.0.0|
|0.0.1.0.0|
|0.0.0.0.1|
になったので(1/1)*単位行列と表しました。