行列の問題です

質問

2次の正方行列A（整数を成分にもつ）で、A、A^2、A^3、A^4、A^5のどれも単位行列Eと等しくないがA^6=Eとなるものをひとつあげよ。
という問題なんですが、ケーリーハミルトンを使ったりいろいろためしたんですが答えがでません。　どなたか教えて下さい。

回答No.2

owata-www · ベストアンサー

A^6=E
→A^6-E＝0
→(A^3-E)(A^3+E)＝0
→A^3+E＝０　…A^3≠Eより
→(A+E)(A^2-A+E)＝０
→A^3-A+E＝0　…A+E＝0ならA^2＝E

お礼

ありがとうございます！

回答No.9

arrysthmia

No.7 です。
＞ (ad-bc, a+d) = (1, 1), (1, -1), (-1, 0) または A = ±E
＞ が、A^6 = E の必要条件となります。
＞ この条件が必要十分であることも判ります。

A^6 = E の必要条件 と明記していますね？
解を求めた後で、
A、A^2、A^3、A^4、A^5 のどれも単位行列Eと等しくない
かどうかを確認することは、当然必要だし、簡単な作業です。

適当に条件を付加してから解くのではなく、
全解を求める方法が、(原理的には)在るのだ ということを
示してみたのでした。

回答No.8

info22

#4,#6です。
#7さんのA#7では
A^6=Eの必十条件だけなので
A^2,A^3,A^4,A^5の全てがEと等しくないという条件が
含まれていませんね。この条件を満たすのは　A#7の

>(ad-bc, a+d) = (1, 1), (1, -1), (-1, 0) または A = ±E

のうち
　(ad-bc, a+d) = (1, 1)　…（◎）
の場合だけです。
したがって、A#7結論の式だけでAを求めると適さない行列Aも出てきてしまいます。（◎）の式だけ使えば、適した行列Aが求められますね。

（◎）をA#6に書いたようにa,cを与えて c,dについて解けば
A#6に書いた（●)と(▲）と同じ結果となります。

A#6に書いたように条件に合う行列Aの色々な表わし方があり、
(◎)もその１つの表し方ということですね。

回答No.7

arrysthmia

行列式の計算法則 det(AB) = (det A)(det B) より、
A^6 = E から、(ad-bc)^6 = 1 が言えます。
よって、ad-bc = ±1。

ケーリー・ハミルトンの定理を知っていれば、
A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O が言えますから、
これを使って、A^6 の次数が下げられます。
a+d = s と置いて…

多項式の割り算
x^6 - 1 = (x^2 - sx + 1)(省略) + (s^2 - 1){ s(s^2 - 3)x - (s^2 - 2) },
x^6 - 1 = (x^2 - sx - 1)(省略) + s(s^2 + 1){ (s^2 + 3)x + s }
より、
ad-bc = 1 のとき、s = ±1 または s(s^2 - 3)A = (s^2 - 2)E。
ad-bc = -1 のとき、s = 0 または (s^2 + 3)A = -sE。

A // E でなければ、
s(s^2 - 3)A = (s^2 - 2)E や (s^2 + 3)A = -sE は成立しません。
A // E であれば、
A^6 = E を満たす A は、A = ±E だけです。

以上より、
(ad-bc, a+d) = (1, 1), (1, -1), (-1, 0) または A = ±E
が、A^6 = E の必要条件となります。
A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O に代入して検算すれば、
この条件が必要十分であることも判ります。

(ad-bc, a+d) = (1, 1), (1, -1), (-1, 0) を解けば
全ての解が求まりますが、a, b, c, d が整数という条件の下に
全ての解を求めるのは大変です。
出題は「ひとつあげよ」ですから、適当に (a, b) = (0, 1) でも代入
しれみれば、対応する (c, d) が求まります。

回答No.6

info22

#4です。
A=
[a,b]
[c,d]　…(■)
とすると
a,cを任意に与えたとき
d=1-a　　…(●)
b=(a-1-a^2)/c　…（▲）
と決めれば
条件を満たす行列Aが答えになります。
たとえば
{a=2,c=1,b=-3,d=-1},
{a=1,c=2,b=-1/2,d=0}
a,cを与えてb,dを求めてそれらで（■）の行列式を作れば
いいですね。

（●）と(▲）をc,dについて解けば,a,bを与えてc,dを求めて
それらで（■）の行列式を作ることも可能です。

このような行列Aの色々な表し方があります。
#5さんのA#5のまとめ方もその１つで、文字変数のおき方が違うだけで
内容は同じです（Aの式と要素間の関係も確認した所、合っています。）。
ただし、上記の例のように、行列要素a,b,c,dは
必ずしも整数という制限を設ける必要はありませんね。
つまり、実数の範囲で構いません。

回答No.5

gef00675

原点を中心に60度回転する行列Rは、行列要素が整数でない点を除けば、明らかに条件を満たしています。そこで、Rに相似な行列A=PRP^(-1)　（Pは２×２行列）の中から要素が整数であるようなものを考えれば、A＝
k, -n
m, 1-k
（ただしk,m,nはmn=k^2-k+1をみたす整数）の形の行列はみな解になることがわかります。たぶん。

回答No.4

info22

Aの４要素を変数でおいて、A^6を計算し,　＝Eとおいて、連立方程式を
腕力で解いてAを求め
A^2,A3,A^4,A^5がEに等しくない条件…(●)
を満たすAを2通り見つけました。

[解の例1]
[-1,-3]
[ 1, 2]

[解の例2]
[3,-7]
[1,-2]

検証]
いずれの行列も#3さんのA#3の式
A^2-A+E＝0　
を満たしていることを確認しました。
(●)の条件も満たすことは確認済みです。

A=
[a,b]
[c,d]
とおいて「A-A^2」
を計算して
＝E
とおいて連立方程式を解いてAの候補を求めた方が
A^6=Eを解く方より多分簡単でしょうね。
連立方程式の解が、全て条件を満たすわけではありませんので
A^2,A^3,A^4,A^5がEに等しくならないことを確かめてから
解としないといけませんね。

回答No.3

owata-www

訂正
A^3-A+E＝0→A^2-A+E＝0

回答No.1

koko_u_u

いろいろ試した内容を補足にどうぞ。