行列 ハミルトン・ケーリーの定理

質問

数Ｃの行列の質問です。
問題としてはシグマトライIIIＣの153番の(1)です。

(1)正方行列A＝(3,-2,1,0)について
(A-2E)(A-E)＝(A-E)(A-2E)＝0が成り立つことを示せ。

(証明)
ハミルトン・ケーリーの定理より　A⌒2-3A+E＝0
『A≠kE』より
(A-2E)(A-E)＝(A-E)(A-2E)＝0

なのですが、『A≠kE』の条件がつく理由がわかりません。

回答よろしくお願いしますｍ(_ _)ｍ

回答No.4

shervs

その条件は関係ないですよ。要りません。
他の問題とも関係ないです。

お礼

関係ないんですね・・・orz
でもこれで数IIIＣの最後の引っ掛かりが取れました!入試典型問題の演習に移っていけそうです^^
ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

や, A=kE かどうかは全く関係なく
A^2 - 3A + 2E = (A-E)(A-2E)
です.
このあとに何か問題があったりしませんか?

補足

回答ありがとうございます。
(2)(3)が影響してくるかもしれないのですね。
わかりました。では(2)(3)もすべて書きます。

問題
ｎを自然数とする。正方行列A＝(3,-2,1,0)について
(１)
(A-2E)(A-E)＝(A-E)(A-2E)＝0が成り立つことを示せ。
(２)
A⌒n(A-E)＝2⌒n(A-E)が成り立つことを示せ。
(３)
A⌒nを求めよ。

回答
(１)
(証明)
ハミルトン・ケーリーの定理より　A⌒2-3A+2E＝0
『A≠kE』より
(A-2E)(A-E)＝(A-E)(A-2E)＝0　(終)　(←(A-αE)(A-βE)=Oの形に）
(２)
(証明)
(A-2E)(A-E)＝0よりA(A-E)＝2(A-E)　(←A(A-βE)＝α(A-βE)の形に)
ゆえにA⌒n(A-E)＝2⌒n(A-E)・・・(a)　(終)　(←A⌒n(A-βE)＝α⌒n(A-βE)を導く)
(３)
(A-E)(A-2E)＝0よりA(A-2E)＝A-2E
ゆえにA⌒n(A-2E)＝A-2E・・・(b)
(a)よりA⌒(n+1)-A⌒n＝2⌒nA-2⌒nE・・・(c)
(b)よりA⌒(n+1)-2A⌒n＝A-2E・・・(d)
(c)-(d)よりA⌒n＝(2⌒n-1)A-(2⌒n-2)E
(あとは行列AとEを入れて計算ですが、書くとグチャグチャになるので最終的な答えだけを・・・)
A⌒n=(2⌒(n+1)-1,-2⌒(n+1)+2,2⌒n-1,-2⌒n+2)

(←○○)は薄地で書かれていた補足説明です。

再びよろしくお願いしますｍ(_ _)ｍ

回答No.2

kuwaman091

ケーリー・ハミルトンの計算違ってるよ。
もう少し、解説を丁寧に写してもらわないと何を言いたいのか、分からない。

補足

回答ありがとうごさいます。

そのまま写したつもりでしたが、確かに違ってましね^^;2Eですね。スイマセン。

詳しくと言われましても、問題集の回答の3行をそのまま写しただけで…その3行で理解できなかったので質問してます^^;

「何を聞きたいのか」を言い直しておくと「行列を因数分解するさいに『A≠kE』ということを記述する理由」です。

例えば「AがEの実数倍だと因数分解できない」のでしょうか？

回答No.1

nettiw

A=(3,-2,1,0)なんだから、
Aは単位行列の実数倍には、ならないので、
A≠kE　です。

補足

回答ありがとうございます。

「AがEの実数倍でない」とこまでは理解しているとこを記述してませんでした、スイマセン。

聞きたいことは「『A≠kEより』と書くからには『A=kE』では因数分解できない理由がある」ということだと思うので、その理由です。

(行列の場合、因数分解と言っていいのかわからないですが、今回は目をつぶってください。)