ハミルトン・ケイリーの定理

質問

ハミルトンケイリーの定理の問題なんですが、下の式って常に成り立っているといえるのでしょうか？？

二次正方行列をA、単位行列をEとする、またAの各成分は（a b）
　（c d）←カッコは二つで一つの行列としてみてくだ　　　　　　さい。

A＾２＋A+E＝０のとき　a+d=-1. (ad-bc)=1
が常に成り立つ。

マジで悩んでいます(>_<)誰か教えてください

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

hari-611さん、こんにちは。
ハミルトン・ケーリーの定理とは、

　　　　　　　　　　　a　　b
Ａを二次正方行列（　　　）とすると
　　　　　　　　　　　c　　d

　　　a　b　　a　b　　　a^2+bc　(a+d)b
A^2=（　　）（　　）＝（　　　　　　　　）
　　　c　d　　c　d　　　(a+d)c　d^2+bc

A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0

が成り立つことですね。

ですから、問題のA^2+A+E=0のときは
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0
に当てはめて考えると、
a+d=-1
ad-bc=1
だといえます。

実際、
　　　　　　a^2+bc+a+1　　　(a+d+1)b
A^2+A+E＝（　　　　　　　　　　　　　　　）
　　　　　　(a+d+1)c　　　　d^2+bc+d+1

ですから、
A^2+A+E=0のとき、
a^2+bc+a+1=0
(a+d+1)b=0
(a+d+1)c=0
d^2+bc+d+1=0

よって、
(a+d+1)=0またはb=0
(a+d+1)=0またはc=0
b=0またはc=0のとき、
a^2+a+1=0となるが、
この判別式をとると、D=(-1)^2-4=-3<0
となるので、実数aが存在しない。
よって、b≠0,c≠0
したがって、a+d+1=0ゆえに、a+d=-1
また、このとき、a=-d-1と表せるので、
a^2+bc+a+1=0に代入すれば
a(-d-1)+bc+a+1=0
-ad-a+bc+a+1=0
-ad+bc+1=0
ad-bc=1

よって、a+d=-1,ad-bc=1がいえました。

成分計算して方程式を解けば、定理が成り立っていることが分かります。
ご参考になればうれしいです。