行列のn乗の求め方
- 大学の線形代数の授業で行列のn乗の求め方についての問題が出されました。
- 与えられた2次正方行列のAに対してA^2とA^3を計算し、その結果を用いてA^nを求める方法を教えて欲しいです。
- 固有値やジョルダン細胞についてはまだ学習していないため、ケイリー・ハミルトンの定理の応用や帰納法を使って解くことができる問題だと思います。
- ベストアンサー
行列のn乗の求め方
大学の線形代数の授業で配られた演習問題の次の問いが解けません。 問:2次正方行列A=[-1,-√3:√3,-1] :←のマークは行の変わり目です に対してA^2,A^3を計算し、その結果を用いてA^nを求めよ。 計算ミスがなければA^2は普通に計算ないしケイリー・ハミルトンの定理を用いて求めることができました。A^2=[-2,2√3:-2√3,-2] A^3も同様にA^3=8E(E:単位行列)として求めることができました。しかしA^nが分からなかったため、求め方を教えてくださると助かります。 ちなみに固有値やジョルダン細胞?というものはまだまったく習っていないため、ケイリー・ハミルトンの定理の応用や帰納法(自分は予想したが分からなかった)などで解ける問題だと思うのですが・・・
- nmtc5090
- お礼率66% (8/12)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数2
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
A=[-1,-√3:√3,-1] A^2=A A=[-1,-√3:√3,-1][-1,-√3:√3,-1]=2[-1,√3:-√3,-1] A^3=A^2 A=2[-1,√3:-√3,-1][-1,-√3:√3,-1]=8[1,0:0,1]=(2^3) E A^4=A^3 A =8E[-1,-√3:√3,-1]=(2^3)A=(2^3) [-1,-√3:√3,-1] A^5=A^4 A=8A A=(2^3)A^2=(2^4) [-1,√3:-√3,-1] A^6=A^5 A=8A^2 A=(2^3) A^3=(2^6) E ... m=1,2,3, ...として n=3m-2の時 A^n=2^(n-1) EA=2^(n-1) [-1,-√3:√3,-1] n=3m-1の時 A^n=2^(n-2) A^2=2^(n-1) [-1,√3:-√3,-1] n=3mの時 A^n=2^n E
関連するQ&A
- ハミルトン・ケーリーの定理の問題
線形代数学の問題で、 A=[-1 -3] [ 1 -3]←一つの行列(二次正方行列)として A^22をハミルトン・ケーリーの定理を利用して求めよというものが出ました。簡単とのことなのですが、全然分かりません。 どなたか詳しい方教えていただけないでしょうか?お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の問題で方針が立たなくて困っています。
再び失礼します。 問1. Aは2次の正方行列で A^2+A+E=0 を満たしている。このとき次の問題に答えよ。 (1)pを実数とするとき、A-pEの逆行列をAを用いて表せ。 (2) A^2-3A+2E の逆行列を求めよ。 先日受けたテストの問題なんですが、自分で解こうとしたときは問題文の一番最初に与えられている条件式を使いハミルトンケーリーの定理からAの成分を求めようとしました。 しかし、ハミルトンケーリーの定理は式から成分を定めるときにかなり面倒なのでこの解き方は違うだろう、ということでこの解法は却下しました。 次に思い浮かんだ解き方はAの成分を実際に文字でおいてみて計算する方法だったのですが、途中まで計算してだいぶカオスなことになったのであきらめました・・・ この問題についてはもはやお手上げ状態です(泣 どなたか解法の方針を教えてもらえないでしょうか・・・ 最後までよんでもらい、ありがとうございます。 説明が下手な部分に関してはごめんなさい・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の問題です、よろしくお願いします。
A=(a b ; c d) (←2次の正方行列をこのように表すとします) (1)行列Aが固有値λ1、λ2 (λ1≠0、λ2≠0)を持つとするとき、ケーリー・ハミルトンの式を用いて、 tr(A)=λ1+λ2、 det(A)=λ1・λ2 となることを示せ。 (λ1の"1"などはλの添え字だとします) (2)上記の条件の下で、(λ1-λ2)・A^n=((λ1)^n-(λ2)^n)・A-((λ1)^n・λ2-λ1・(λ2)^n)・E が成り立つことを示せ。ただしnは正の整数とする。 ( "^n" はn乗を、"E"は単位行列を表しています) という問題がよくわかりません。 (1)は、僕なりの解としては、ケーリー・ハミルトンを用いなければ A-λE=(a-λ b ; c d-λ) det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc =λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0 この方程式の2解はλ1、λ2なので、解と係数の関係より λ1+λ2=a+d=tr(B) λ1・λ2=ad-bc=det(B) としましたが、ケーリー・ハミルトンを用いるとどのようになるのでしょうか? (2)は、全然方針が思い浮かびません…どのように解くのでしょうか?よろしくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 線形代数 ケーリー・ハミルトンの定理 詳しい参考書
※線形代数の参考書についての質問はかなり出ていますので,既出でしたらもすいません.(探し出すことができませんでした.) 現在,制御の研究をしているものですが,その中で,ケーリー・ハミルトンの定理を使って行列計算をしなければなりません. この定理は,A^nの次数を次数n-1以下の行列で表現するために用います. 今,A行列の固有値が重解を持つため,不可能がと思っていましたが,重解をもつ場合の方法をネットで調べると,同様の方法でできるという内容がすぐに出てきました.(http://www.cfv21.com/math/hamcayley.htm) できれば,参考書や論文などで,確認したいので,ケーリー・ハミルトンの定理について詳しく記されているものがあれば紹介いただけたらと思います.よろしくお願いします.
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列 ハミルトン・ケーリーの定理
数Cの行列の質問です。 問題としてはシグマトライIIICの153番の(1)です。 (1)正方行列A=(3,-2,1,0)について (A-2E)(A-E)=(A-E)(A-2E)=0が成り立つことを示せ。 (証明) ハミルトン・ケーリーの定理より A⌒2-3A+E=0 『A≠kE』より (A-2E)(A-E)=(A-E)(A-2E)=0 なのですが、『A≠kE』の条件がつく理由がわかりません。 回答よろしくお願いしますm(_ _)m
- 締切済み
- 数学・算数
- ケーリーハミルトンの定理を用いる問題
A=[ 2 1] [-7 -3] とする。このAに対する固有多項式をgA(t)とおく。(Aは、2×2の行列を表している) ケーリーハミルトンの定理を用いて、f(A)を計算せよ。 f(t)=t^20 固有多項式は、gA(t)={t^2}+t+1なので、ケーリーハミルトンの定理から、単位行列をEとおくと、gA(A)={A^2}+A+E=0,A^3=Eであることを用いると、答えには書いてあるのですが、A^3=Eということがどうして出てくるのかが、分かりません。 どなたかよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
素早い解答ありがとうございます。 A^3=8Eに注目してそれ以降の計算をすると規則性が見えてくるのですね。