行列について

質問

ｘ：２次の正方行列
Ｅ：２次の単位行列
ｘ＾ｎ＝（ｘ＾２－４ｘ＋３Ｅ）ｐ（ｘ）＋ａｘ＋ｂＥをみたす定数ａ，ｂがある。
問　定数ａ，ｂの値をもとめよ。
問　Ａ＝（５　－４）のとき
　　　　（２　－１）　　←２次の正方行列のつもり
問１を用いてＡ＾ｎを求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

satoooさん、こんにちは。

＞ｘ＾ｎ＝（ｘ＾２－４ｘ＋３Ｅ）ｐ（ｘ）＋ａｘ＋ｂＥをみたす定数ａ，ｂがある。
問　定数ａ，ｂの値をもとめよ。
問　Ａ＝（５　－４）のとき
　　　　（２　－１）　　←２次の正方行列のつもり
問１を用いてＡ＾ｎを求めよ。

まず、（ｘ－２－４ｘ＋３Ｅ）のところに注目します。
x^2-4x+3E=(x-3E)(x-E)となるので
x=E,3Eのとき、ここの部分は０になります。
つまりｐ（ｘ）の係数が消えます。これを利用します。

x^n=(x^2-4x+3E)p(x)+ax+bE・・・（☆）

（☆）において、
ｘ＝Ｅを代入してみると、
E^n=0*p(x)+aE+bE=E（単位行列は何乗しても単位行列）
ですから、このことよりa+b=1・・・（１）を得ます。

（☆）において、
ｘ＝３Ｅを代入すると、
３Ｅ＊３Ｅ＝（９，０
　　　　　　　０，９）
ですから、（３Ｅ）＾ｎ＝（３＾ｎ、０
　　　　　　　　　　　　　０、３＾ｎ）
となるのが分かると思います。
x^n=0*p(x)+a(3E)+bE
ですから、成分計算して、3a+b=3^n・・・（２）

（１）（２）より、a=(3^n-1)/2
　　　　　　　　　b=(1-3^n)/2

さて、Ａ＾２－４Ａ＋３Ｅ＝０となるのが
成分計算から分かると思いますので、

A^n=0*p(A)+a(A)+bE
ここで、a,bは上の値ですから、

A^n=(3^n-1)/2*A+(1-3^n)/2*E
　＝（２＊３＾ｎ－２、－２＊３＾ｎ＋２
　　　３＾ｎ－１、１－３＾ｎ）

となると思います。頑張ってください。

お礼

ありがとうございます。がんばります。