3*3行列の問題

質問

皆さんこんばんはm(_ _)m 私は現在数学の行列について勉強しています大学院生です。
さて、今回の質問ですが、

(4 0 2)
(5 -1 -1)=A （3*3行列）
(-1 0 1)

において（見えずらくてすみません）
2A^6-9A^5+2A^4-A^3+5A^2+3A+2I　を計算したいのですが、
（ちなみに、Iは単位行列で2A^6はAの6乗の2倍です。）
この場合はケーリー・ハミルトンの定理を用いた方が良いのでしょうか？
もしそれを使って計算するとしたらどのように計算するのでしょう。
どなたか数学に詳しい方具体的なヒントをよろしくお願いします。

回答No.3

kopanda116

Aの固有多項式は
　　A = λI (λ:固有値)
ですね。
したがって、Aの固有多項式φ(λ)は、行列表記でφ(A)としても同じことですね。
ですから、
φ(λ) ∈ R^3 (実数の3次式)
で元の計算したい式を割り算して、余りを計算すればよいと思います。
余りは、必ず2次式以下になるので、かなり計算しやすいと思います。

回答No.2

gatch_ky

3*3行列の固有方程式は3次式になるよ。
仮に固有方程式をφ(x)とする。
f(A)=2A^6-9A^5+2A^4-A^3+5A^2+3A+2I　とする。
f(x)=(適当な３次式)*φ(x) + g(x) ただしgは２次式
とできる。
あとはg(A)を計算すればよい。２次式だから簡単に計算できるでしょう。