行列の問題が解けません

質問

A^2=-E (^2は2乗、Eは単行列)　となる2×2実数行列を求めよという問題なのですが、
　自力でやってはみましたが、どうしても虚数を使った答えしか求められませんでした。
　どなたか解答をお願いします。（できれば計算過程も含めて）

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

No.2 をやり直してみました。

行列A = [a, b; c, d] と書くことにします(Matlab風 ; が行区切り)。

A^2 = -E ですから |A|・|A| = |-E| = 1 ⇔ |A| = ±1 ⇔ ad - bc = ±1
になります。

A^2 = -E ⇔ A = -A^(-1) ですから、２次の正方行列の逆行列の公式から

[a, b; c, d]　= -(1/|A|)[d, -b; -c, a]

|A| = -1 の場合は a=d, b=c=0 ⇒ ad = -1 なので a = d = i

|A| = 1の場合は a = -d, ad-bc= 1 を満たす全てが解です。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

No,2です。Eの前の - を見落としてました。申し訳ない。

回答No.5

kabaokaba

ケリー・ハミルトンの定理より
A^2-tr(A)A+det(A)E=0
であるので
tr(A)A = (1-det(A))E・・・(1)

また，A^2=-E より(det(A))^2 = 1
よって，det(A)=1または-1

det(A)=1のとき
(1)よりtr(A)A=0
Aはゼロ行列ではないので，tr(A)=0
よって

A=
(a b)
(c d)
とおくと
a+d=0，ad-bc=1

逆にa+d=0，ad-bc=1とおくと
ケリー・ハミルトンの定理より
A^2=-Eなのは明らか

det(A)=-1のとき
(1)よりtr(A)A=2E，またtr(A)は0ではない．
A=
(a b)
(c d)
おくと
tr(A) x (a b)
(c d)
=(2 0)
(0 2)
tr(A)は0ではないので
b=c=0
tr(A)a=2
tr(A)d=2
よって
-1=det(A)=ad-bc=ad
ここで
4=tr(A)^2 ad = -tr(A)^2
tr(A)=2iまたは-2i

よって
a+d=2iまたは-2i
ad=-1
b=c=0
つまり a=d=iまたはa=d=-i
よって
A=iEまたは-iE

よって，条件をみたす二次正方実行列は
(a b)
(c d)
a+d=0かつad-bc=1

成分を使わないでかけば

条件をみたす二次正方実行列Aは
det(A)=1 tr(A)=0を満たすもの．

==========
この手の行列で一番有名なのは
(0 -1)
(1 0)
でしょう．これは虚数単位iと同一視できます．
単に A^2=-E であればよいというのなら
今解いたようにもっとほかのでもいいのですが
この行列は90度の回転行列ですので
まさに虚数単位iです．

回答No.4

ferien

Ａ＝（ａ，ｂ）
　　　（ｃ，ｄ）ａ，ｂ，ｃ，ｄは実数　とすると、　
A^2=-Eより、
ａ^2＋ｂｃ＝－１　…（１）
ａｂ＋ｂｄ＝ｂ（ａ＋ｄ）＝０　…（２）
ａｃ＋ｃｄ＝ｃ（ａ＋ｄ）＝０　…（３）
ｂｃ＋ｄ^2＝－１　…（４）
（２）（３）より、ｂ＝０またはｃ＝０またはａ＋ｄ＝０
ｂ＝０，ｃ＝０のとき、（１）（４）より、ａ^2＝－１，ｄ^2＝－１より、
ａ，ｄは実数であるから成り立たない。
よって、ｂ，ｃは０でなく、ａ＋ｄ＝０よりｄ＝－ａ　…（５）
（１）より、ｂｃ＝－ａ^2－１
ｂは０でないから、ｃ＝－（ａ^2＋１）／ｂ　…（６）
よって、（５）（６）より、
Ａ＝（ａ，ｂ）
　　（－（ａ^2＋１）／ｂ，－ａ）ａは任意の実数，ｂは０でない任意の実数

でどうでしょうか？（数値で答えはでてきませんが。。）

回答No.3

info22_

A=
[a,b]
[c,d]
とおくと
A^2=
[a^2+bc,ab+bd]
[ac+cd,bc+d^2]
=
[-1,0]
[0,-1]

これからa,b,c,dについての連立方程式を作ります。
　a^2+bc=-1
　ab+bd=0
　ac+cd=0
　bc+d^2=-1
連立方程式を解くと、k1,k2(≠0)を任意の実数定数として
　a=k1, b=(1+k1^2)/k2, c=-k2, d=-k1(k2≠0)　...[☆]
と求まります。

[確認] 行列Aの要素a,b,c,dを[☆]の値で与えると、確かに
　A^2=-E
を満たします。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

行列A = [a, b; c, d] と書くことにします(Matlab風 ; が行区切り)。

A^2 = E ですから |A|・|A| = 1 ⇔ |A| = ±1 ⇔ ad - bc = ±1
になります。

A^2 = E ⇔ A = A^(-1) ですから、２次の正方行列の逆行列の公式から

[a, b; c, d]　= (1/|A|)[d, -b; -c, a]

|A| = 1 の場合は a=d, b=c=0 ⇒ ad = 1 なので a = d = 1
つまり単位行列です。

|A| = -1の場合は a = -d, ad-bc=-1 を満たす全てが解です。

回答No.1

Tacosan

あなたはどう解いたの?